Math173

设函数 $f(x)=[x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数 $y=f(x)$ 的图象与圆 $(x-t)^2+(y+t)^2=2 t^2$（$t>0$）的公共点个数可以是（       ）

A．$1$ 个

B．$2$ 个

C．$3$ 个

D．$4$ 个

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$P$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点，$F_1 , F_2$ 是 $C$ 的两个焦点，$\overrightarrow{PF}_1\cdot\overrightarrow{PF}_2=0$，点 $Q$ 在 $\angle F_1 PF_2$ 的平分线上，$O$ 为原点，$OQ\parallel PF_1$，且 $|OQ|=b$，则 $C$ 的离心率为（       ）

A．$\dfrac 1 2$

B．$\dfrac{\sqrt 3}3$

C．$\dfrac{\sqrt 6}3$

D．$\dfrac{\sqrt 3}2$

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点 $P$ 是边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 边上的动点，则 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的最大值为（       ）

A．$2$

B．$\dfrac{11}4$

C．$3$

D．$\dfrac{13}4$

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已知 $a>0$，且 $a\neq 1$，则函数 $y=\log_a\left(x+\dfrac 1 a\right)$ 的图象一定经过（       ）

A．第一、二象限

B．第一、三象限

C．第二、四象限

D．第三、四象限

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$P$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点，$F_1 , F_2$ 是 $C$ 的两个焦点，$\overrightarrow{PF}_1\cdot\overrightarrow{PF}_2=0$；点 $Q$ 在 $\angle F_1 PF_2$ 的平分线上，$O$ 为原点，$OQ\parallel PF_1$，且 $|OQ|=b$．则 $C$ 的离心率为（       ）

A．$\dfrac 1 2$

B．$\dfrac{\sqrt 3}3$

C．$\dfrac{\sqrt 6}3$

D．$\dfrac{\sqrt 3}2$

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在平面直角坐标系 $x Oy$ 中，等轴双曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的中心均为 $O$，焦点分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，焦距之比为 $2$．$C_1$ 的右焦点 $F$ 到 $C_1$ 的渐近线的距离为 $\sqrt 2$．

1、求 $C_1,C_2$ 的方程．

2、过 $F$ 的直线交 $C_1$ 于 $A,B$ 两点，交 $C_2$ 于 $D,E$ 两点，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{DE}$ 的方向相同．

① 证明：$|AD|=|BE|$；

② 求 $\triangle AOD$ 面积的最小值．

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设离散型随机变量 $X,Y$ 的取值分别为 $\left\{x_1,x_2,\cdots,x_p\right\},\left\{y_1,y_2,\cdots,y_q\right\}$（$p,q\in\mathbb N^{\ast}$）．定义 $X$ 关于事件 $Y=y_j$ $(1\leqslant j\leqslant q)$ 的条件数学期望为 \[E\left(X\mid Y=y_j\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^p x_i P\left(X=x_i\mid Y=y_j\right),\] 已知条件数学期望满足全期望公式\[E(10)=\displaystyle\sum_{j=1}^q E\left(X\mid Y=y_j\right) P\left(Y=y_j\right),\] 解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物 $A$ 生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第 $1$ 天上午，实验人员向培养血中加入 $10$ 个 $A$ 的个体．从第 $1$ 天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，$A$ 的每个个体立即以相等的概率随机产生 $1$ 次如下的生理反应（设 $A$ 的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：

① 直接死亡；

② 分裂为 $2$ 个个体．

设第 $n$ 天上午培养皿中 $A$ 的个体数量为 $X_n$．规定 $E\left(X_1\right)=10$，$D\left(X_1\right)=0$．

1、求 $P\left(X_2=4\right)$，$E\left(X_4\mid X_3=4\right)$．

2、证明：$E\left(X_n\right)=10$．

3、已知 $E\left(X_n^2\mid X_{n-1}=t\right)=t^2+t$（$t\in\mathbb N^{\ast}$）．求 $D\left(X_n\right)$，并结合第 $(2)$ 小题说明其实际含义． 附：对于随机变量 $X$，$D(10)=E\left(X^2\right)-E^2(10)$．

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已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1 , F_2$，$B$ 为上顶点，离心率为 $\dfrac 1 2$，直线 $BF_2$ 与圆 $4 x^2+4 y^2-3=0$ 相切．

1、求椭圆 $C$ 的标准方程．

2、过 $F_2$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点．

① 若 $\overrightarrow{MF_2}=\lambda\overrightarrow{F_2 N}$（$1<\lambda<2$），求 $\triangle MON$ 面积的取值范围；

② 若 $l$ 斜率存在，是否存在椭圆 $G$ 上一点 $Q$ 及 $x$ 轴上一点 $P\left(t,0\right)$，使四边形 $PMQN$ 为菱形？若存在，求 $t$．若不存在，请说明理由．

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已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x\ln x+a x^2$．

1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 在 $x=1$ 处切线方程．

2、讨论函数 $f(x)$ 的零点个数．

3、若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），求证：$-\dfrac 1 2<f\left(x_1\right)<0$．

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