设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，且满足 $$ f(x)-2 x f\left(\frac{1}{x}\right)+x^2=0, $$ 则 $f(x)$ 的最小值为_______．
设 $f(x)=m x^2+(2 n+1) x-m-2$（$m, n \in \mathbb{R}$，$m \neq 0$）在 $[3,4]$ 上至少有一个零点，则 $m^2+n^2$ 的最小值是______．
已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d\neq0$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比 $q$ 为小于 $1$ 的正有理数．若 $a_1=d$，$b_1=d^2$，且 $\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3}$ 为正整数，则 $q=$ _______．
函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a \ln (a x-a)+a$（$a>0$），若 $f(x)>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
如图所示，$O$ 为坐标原点，点 $F$ 为抛物线 $C_1: x^2=2 p y$（$p>0$）的焦点，且抛物线 $C_1$ 上点 $P$ 处的切线与圆 $C_2:x^2+y^2=1$ 相切于点 $Q$．
1、当直线 $P Q$ 的方程为 $x-y-\sqrt{2}=0$ 时，求抛物线 $C_1$ 的方程．
2、当正数 $p$ 变化时，记 $S_1,S_2$ 分别为 $\triangle F P Q,\triangle F O Q$ 的面积，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值．
设函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{2} a x^2-x$．
1、若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，求 $a$ 的值．
2、当 $a>1$ 时，
① 证明：函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），且 $x_2-x_1$ 随 着 $a$ 的增大而增大；
② 在 ① 的结论下，证明：$f\left(x_2\right)<1+\dfrac{\sin x_2-x_2}{2}$．
对任意正实数 $a,b,c$，及任意正实数 $r>1$，求证： $$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \leqslant \frac{a^r}{b^r+c^r}+\frac{b^r}{c^r+a^r}+\frac{c^r}{a^r+b^r} . $$
已知正整数数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：对任意的正整数 $m,k$，都有 $a_{m^2}=a_m^2$，且 $a_{m^2+k^2}=a_m a_k$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．
如图所示，$A B C D$ 是一个矩形，$A B=8$，$B C=4$，$M,N$ 分别 是 $A B,C D$ 的中点，以某动直线 $l$ 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 $M$ 都落在边 $C D$ 上，记为 $M^{\prime}$．过 $M^{\prime}$ 作 $M^{\prime} P$ 垂直于 $C D$ 交直线 $l$ 于点 $P$．设点 $P$ 的轨迹是曲线 $E$．
1、建立恰当的直角坐标系，求曲线 $E$ 的方程．
2、$F$ 是 $M N$ 上一点，$\overrightarrow{F N}=-3 \overrightarrow{F M}$，过点 $F$ 的直线交曲线 $E$ 于 $S,T$ 两点，且 $\overrightarrow{S F}=\lambda \overrightarrow{F T}$，求实数 $\lambda$ 的取值范围．
$\triangle A B C$ 的三边长 $a,b,c$ 满足：$a^2+b^2+3 c^2=7$，则 $\triangle A B C$ 的面积的最大值为_______．
