$\triangle A B C$ 的三边长 $a,b,c$ 满足:$a^2+b^2+3 c^2=7$,则 $\triangle A B C$ 的面积的最大值为_______.
答案 $\dfrac{\sqrt{7}}{4}$.
解析 先证明
命题 已知 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$,面积为 $S$,$t_1,t_2,t_3$ 是任意三个正实数,求证:\[t_1a^2+t_2b^2+t_3c^2\geqslant 4\sqrt{t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1}\cdot S,\]并指出等号取得的条件.
命题的证明 由三角形面积的三斜求积公式,有\[ (4S)^2=2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^2,\]设\[t_1a^2+t_2b^2+t_3c^2=m,\]根据拉格朗日乘数法,设\[F(a^2,b^2,c^2,\lambda)=(4S)^2+\lambda (t_1a^2+t_2b^2+t_3c^2-m),\]则极值条件为\[\begin{cases} -2a^2+2b^2+2c^2+\lambda t_1=0,\\ 2a^2-2b^2+2c^2+\lambda t_2=0,\\ 2a^2+2b^2-2c^2+\lambda t_3=0,\\ t_1a^2+t_2b^2+t_3c^2-m=0,\end{cases}\]解得\[\begin{cases} a^2=\dfrac{m(t_2+t_3)}{2(t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1)},\\ b^2=\dfrac{m(t_3+t_1)}{2(t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1)},\\ c^2=\dfrac{m(t_1+t_2)}{2(t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1)},\\ \lambda=-\dfrac{2m}{t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1},\end{cases}\]进而可得\[(4S)^2\leqslant \dfrac{m^2}{t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1},\]原命题得证,且等号取得的条件是\[a^2:b^2:c^2=(t_2+t_3):(t_3+t_1):(t_1+t_2).\] 根据结论,可得所求面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 7}4$.
我有更好的做法
解析法
不是,直接余弦定理代入面积公式,平方差分解化归为关于a^2+b^2的式子,在均值不等式即可
看不懂