每日一题[3429]物尽其用

在 $\triangle ABC$ 中，$\tan A=3$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$．

1、求 $\tan B$．

2、若 $AC=\sqrt 5$，求 $AC$ 边上的中线长．

解析

1、根据 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$，可得\[\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=0.\]

2、设 $HC=m$，则 $AH=2m$，从而\[AC=\sqrt{AH^2+HC^2}\implies \sqrt5=\sqrt{(2m)^2+m^2}\implies m=1,\]建立平面直角坐标系 $H-CA$，有 $B(-2,0)$，$A(0,2)$，$C(1,0)$，于是 $AC$ 的中点 $M\left(\dfrac 12,1\right)$，因此\[BM=\sqrt{\left(\dfrac 52\right)^2+1}=\dfrac{\sqrt{29}}2.\]