2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #18
已知函数 $f(x)=a x+\sin x$，$x\in[0,\pi]$．
1、若 $a=-1$，证明：$f(x)\leqslant 0$；
2、若 $f(x)\leqslant 0$，求 $a$ 的取值范围；
3、若 $a\neq 0$，记 $g(x)=\dfrac 1 a f(x)-\ln (x+1)$，讨论函数 $g(x)$ 的零点个数．
每日一题[3584]基本放缩
2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #14
已知 $f(x)=|\ln a-\ln x-2|+\left|\dfrac a x-1\right|$，则 $f(x)$ 的最小值为_____．
每日一题[3583]切线直线系
2024年10月清华大学THUSSAT测试数学 #11
一条动直线 $l_1$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切，并与圆 $x^2+y^2=25$ 相交于点 $A,B$，点 $P$ 为定直线 $l_2: x+y-10=0$ 上动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在直线 $l_1$，使得以 $AB$ 为直径的圆与 $l_2$ 相切
B．$|PA|^2+|PB|^2$ 的最小值为 $150-20\sqrt 2$
C．$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的最大值为 $-27+10\sqrt 2$
D．$|PA|+|PB|$ 的最小值为 $8\sqrt 3$
每日一题[3582]迭代估计
2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 19
如图，已知点列 $P_n\left(x_n, \dfrac{4}{x_n}\right)$ 与 $A_n\left(a_n, 0\right)$ 满足 $x_{n+1}>x_n$，$\overrightarrow{P_n P_{n+1}} \perp \overrightarrow{A_n P_{n+1}}$ 且 $\left|\overrightarrow{P_n P_{n+1}}\right|=\left|\overrightarrow{A_n P_{n+1}}\right|$，其中 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，$x_1=\sqrt{2}$．
1、求 $x_{n+1}$ 与 $x_n$ 的关系式；
2、证明：$2 n^2+4 n+4 \leqslant x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots+x_{n+1}^2 \leqslant 4 n^2+6 n$．
每日一题[3581]化齐次联立
2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #17
已知椭圆 $E:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴长是 $4$，$D$ 为右顶点，$P, Q, M, N$ 是椭圆 $E$ 上异于顶点的任意四个点，当直线 $P Q$ 经过原点 $O$ 时，直线 $P D$ 和 $Q D$ 的斜率之积为 $-\dfrac{1}{4}$．
1、求椭圆 $E$ 的方程；
2、当直线 $M D$ 和 $N D$ 的斜率之积为定值 $-2$ 时，直线 $MN$ 是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
每日一题[3580]奇偶相生
2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #19
对于一个四元整数集 $A=\{a,b,c,d\}$，如果它能划分成两个不相交的二元子集 $\{a,b\}$ 和 $\{c,d\}$，满足 $a b-c d=1$，则称这个四元整数集为有趣的．
（1）写出集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 的一个有趣的四元子集；
（2）证明：集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ 不能划分成两个不相交的有趣的四元子集；
（3）证明：对任意正整数 $n$（$n\geqslant 2$），集合 $\{1,2,3,\cdots,4 n\}$ 不能划分成 $n$ 个两两不相交的有趣的四元子集．
每日一题[3579]引参表达
2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #18
如图，已知抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，过点 $P(-1,2)$ 作一条不经过 $F$ 的直线 $l$，若直线 $l$ 与拋物线交于异于原点的 $A,B$ 两点，点 $B$ 在 $x$ 轴下方，且 $A$ 在线段 $PB$ 上．
（1）试判断：直线 $FA,FB$ 的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（2）过点 $B$ 作 $PF$ 的垂线交直线 $AF$ 于点 $C$，若 $\triangle FBC$ 的面积为 $4$，求点 $B$ 的坐标．
每日一题[3578]公切线
2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #17
已知函数 $f(x)=x^2+2 x+4$，$g(x)=2\ln x+2 x+5$．
（1）判断函数 $g(x)$ 的零点个数，并说明理由；
（2）求曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的所有公切线方程．
每日一题[3577]分类枚举
2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #14
将 $12$ 张完全相同的卡牌分成 $3$ 组，每组 $4$ 张．第 $1$ 组的卡牌左上角都标 $1$，右下角分别标上 $1,2,3,4$；第 $2$ 组的卡牌左上角都标 $2$，右下角分别标上 $2,3,4,5$；第 $3$ 组的卡牌左上角都标 $3$，右下角分别标上 $3,4,5,6$．将这 $12$ 张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取 $3$ 张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为_____．