2026年1月江苏南京盐城高三一模数学#18
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，且过点 $\left(\sqrt 3,\dfrac 1 2\right)$．
1、求椭圆 $E$ 的标准方程；
2、若 $A\left(-\dfrac 3 2,0\right),B\left(\dfrac 3 2,0\right)$，$M,N$ 为椭圆 $E$ 上两点（均在 $x$ 轴上方），且 $AN\parallel BM$．
① 已知直线 $AN$ 的斜率为 $\dfrac{2}{3}$，求直线 $MN$ 的斜率；
② 求四边形 $ABMN$ 面积的最大值．
2026年1月江苏南京盐城高三一模数学#14
已知 $\omega>0$，曲线 $y=\sin\omega x$ 与 $y=\sin\left(\dfrac{\pi}3-\omega x\right)$ 相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则 $\omega=$ _____．
2026年1月江苏南京盐城高三一模数学#11
在直角 $\triangle{ABC}$ 中，已知 ${AC}=\sqrt 3$，$B=\dfrac{{\pi}}6$，$D$ 为斜边 ${AB}$ 的中点，将 $\triangle{ACD}$ 沿着 $CD$ 所在直线翻折，得到 $\triangle PCD$，记三棱锥 $P-BCD$ 体积为 $V$，则在翻折过程中（ ）
A．$V$ 的最大值为 $\dfrac{9\sqrt 3}8$
B．存在某个位置，使得 $CP\perp BD$
C．当 $V$ 取最大值时，直线 $PC$ 与平面 $BCD$ 所成的角最大
D．当 $V$ 取最大值时，三棱锥 $P-{BCD}$ 外接球的半径为 $\dfrac{\sqrt{13}}2$
2026年1月江苏南京盐城高三一模数学#8
已知函数 $f(x)=x+\mathrm e^x$，$g(x)=x+\ln x$，若 $f\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)=t$（$t>0$），则 $x_1+x_2-\ln t$ 的取值范围为（ ）
A．$(-\infty,1]$
B．$(-\infty,\mathrm e]$
C．$[1,+\infty)$
D．$[\mathrm e,+\infty)$
来自 73Dsi 的非常漂亮的题目．
若对于任意三角形 $\triangle A B C$，曲线系 $\Gamma_m$ 中均存在其中一条曲线使得曲线上存在三点 $P,Q,R$ 且 $\triangle P Q R$ 与 $\triangle ABC$ 全等，则称该曲线系是保三角形曲线系．以下曲线系中是保三角形曲线系的有（ ）
A．$y=|mx|$（$m\in\mathbb R$）
B．$x^2+y^2=m$（$m>0$）
C．$y=x^m$（$m\in\mathbb R$）
D．$y=m x^2$（$m\in\mathbb R^{\ast}$）
E．$xy=m$（$m\in\mathbb R^{\ast}$）
已知函数 $f(x)$ 图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依次成等比数列，则 $f(x)$ 可以是（ ）
A．$f(x)=\tan x$
B．$f(x)=\mathrm e^x+1$
C．$f(x)=x^2+x$
D．$f(x)=\ln x$
已知 $\triangle A B C$ 外接圆 $O$ 的半径为 $1$，$ \angle A$ 的角平分线交圆 $O$ 于另一点 $D$，$ A D=\sqrt{3}$，则 $\angle C A D$ 的取值范围是_____，$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ 的最小值是_____．
一个游戏 $\rm UP$ 池中有 $n$ 张不同的角色卡，每次抽奖独立地从中抽取 $1$ 张（有放回的抽取），第一次获取角色卡后得到该角色，之后再获得该角色将得到星辉（可用于兑换抽卡资源，但不影响抽卡次数）．
1、求经过 $k$ 抽后，获取的不同角色个数的数学期望；
2、求获取卡池中所有角色需要抽数的数学期望．
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的前 $k$ 项和为 $S_k$ 且 $S_n=1$，求证：$\displaystyle 1\leqslant \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{a_k}{\sqrt{S_k}}<2$．
已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $S(0,\sqrt 6)$，且过点 $P(1,\sqrt 3)$．
1、求椭圆 $\Gamma$ 的方程；
2、若斜率为 $\sqrt 3$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点（直线 $PA$ 斜率为正），直线 $PA, PB$（若 $P,B$ 重合，直线 $PB$ 即为椭圆 $\Gamma$ 在 $P$ 点处的切线）分别与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点，$H$ 为 $PN$ 中点．
① 求 $\sin\angle PMH$ 的最大值；
② 当 $\sin\angle PMH$ 最大时，将坐标平面沿 $x$ 轴折成二面角 $P-MN-A$，在二面角 $P-MN-A$ 大小变化过程中，求三棱锥 $P-MNA$ 外接球表面积取得最小值时三棱锥 $P-MNA$ 的内切球的半径．
