Math173

2025年上海市春季高考数学试卷 #20

在平面直角坐标系中，已知曲线 $\Gamma: \dfrac{x^2}{4}+y^2=1$（$y \geqslant 0$），点 $P,Q$ 分别为 $\Gamma$ 上不同的两点，$T(t,0)$．

1、求 $\Gamma$ 所在椭圆的离心率；

2、若 $T(1,0)$，$Q$ 在 $y$ 轴上，若 $T$ 到直线 $P Q$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，求 $P$ 的坐标；

3、是否存在 $t$，使得 $\triangle T P Q$ 是以 $T$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求 $t$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #8

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且 $f(x+y)+f(x-y)=\dfrac{1}{2} f(x) f(y)$，$f(1)=-2$，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2024} f(k)=$ （       ）

 A．$-4$

B．$4$

C．$0$

D．$-2$

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已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=|x^2-1|-x^2+ax$．

1、若 $f(x)$ 是偶函数，求实数 $a$ 的值；

2、若函数 $f(x)$ 的图象与直线 $y=2x$ 在第一象限有 $2$ 个公共点，公共点横坐标分别为 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），求证：$4x_1-3x_2<a-2<4x_2-3x_1$．

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用 $1,2,3,4,5$ 五个数字组成 $1$ 个三位数和 $1$ 个两位数，每个数字各用 $1$ 次，它们的乘积的最大值是_____，最小值是_____．

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设 $a , b , c>0$，$a+b+c=a b c$．求证：$\displaystyle\sum_{\rm cyc}\dfrac 1{\sqrt{1+a^2}}\leqslant\dfrac 3 2$．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#23

今年（$2023$ 年）是浙江大学建校 $126$ 周年，将一个边长为 $126$ 的正六边形划分成，边与正六边形的边平行且边长为 $1$ 的正三角形，我们假设这些正三角形的顶点所能构成的正六边形的数量为 $n$，则 $n$ 在十进制下的末位数字为_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#22

三条直线 $l_1, l_2, l_3$ 两两平行，$l_1$ 与 $l_2$ 之间的距离为 $1$，$l_2$ 与 $l_3$ 之间的距离为 $\dfrac{1}{2}$，$l_1$ 与 $l_3$ 之间的距离为 $\dfrac{3}{2}$，$A, B$ 是 $l_1$ 上的两个定点且 $A B=2$，$M, N$ 是 $l_2$ 上的两个动点且 $M N=2$；三角形 $A M N$ 的外心记为点 $C$，点 $C$ 到 $l_3$ 的距离为 $d$，则 $d+|B C|$ 的最小值为_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#21

已知 $C, L \in \mathbb{R}$ 且 $L \neq 0$，有 $$\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{n^c \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^n \sin x \mathrm{~d} x}{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^n \cos x \mathrm{~d} x}=L,$$ 则 $L=$ _____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#20

已知 $\left|\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\left.\ln \left(1+\sin ^2 x\right)-66 \sqrt[3]{2-\cos x}-1\right)}{x^4}\right|=\dfrac{q}{p}$，$p $ 和 $ q $ 是互素的正整数，则 $ p+q=$_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#19

已知 $n \in \mathbb{N}^{*}$，存在正整数 $a_1, \cdots a_n$，$b_1, \cdots b_n$ 使 $$S(n)=\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2=n,$$ 则 $n$ 的所有可能取值为_____．

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