已知关于 $x$ 的方程 $\sin (a\cos x)=\cos (b\sin x)$ 没有实数解，则 $a^2+b^2$ 的取值范围是_____．
函数 $f(x)=\dfrac{x+a}{x+1}$（$x>0$），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线的截距为 $\dfrac{11}{2}$．
1、求 $a$；
2、讨论 $g(x)=x\cdot f^2(x)$ 的单调性；
3、设 $a_1=1$，$a_{n+1}=f\left(a_n\right)$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），证明：$2^{n-2}\left|2 \ln a_n-\ln 7\right|<1$．
已知 $m>0$，函数 $f(x)=2 m \ln x-x+\dfrac{1}{x}$（$x>0$）．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性；
2、已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 2$，证明：\[\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\left(1+\frac{1}{3^2}\right)\left(1+\frac{1}{4^2}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n^2}\right)<\mathrm{e}^{\frac{2}{3}};\]
3、若函数 $g(x)=m^2 \ln ^2 x-x-\dfrac{1}{x}+2$ 有 $3$ 个零点，求 $m$ 的取值范围．
已知定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=1$，且对任意 $x<0$，均有 $f\left(\dfrac 1x\right)=xf\left(\dfrac 1{1-x}\right)$，$n$ 是不小于 $2$ 的正整数，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n-1}f\left(\dfrac 1k\right)f\left(\dfrac{1}{n-k}\right)=$ _____．
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，设 $P\left(x_0, y_0\right)$ 是第一象限内椭圆 $C$ 上一点，$P F_1, P F_2$ 的延长线分别交椭圆 $C$ 于点 $A, B$，连接 $O P, A B, A F_2$，$\triangle A P F_2$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、当 $P F_2 \perp x$ 轴时，求 $\triangle P A F_2$ 的面积；
3、分别记 $O P, A B$ 的斜率为 $k_1, k_2$，求证：$k_1k_2$ 为定值．
已知函数 $f(x)={\rm e}^{x}-a x \sin x-x-1$，其中 $a \in\mathbb R$．
1、当 $a=0$ 时，证明：$f(x) \geqslant 0$ 恒成立．
2、若函数 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上有唯一零点，求 $a$ 的取值范围．
设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 均为非负实数，证明： $$\frac{a_{1}}{a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}+\frac{a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{3}^{2} \cdots+a_{n}^{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{a_{1}^{2}+\cdots+a_{n-1}^{2}} \geqslant \frac{4}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}} . $$
已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$）满足 $x_{n}>1$，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数，记\[ \begin{cases} A=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}, \\ B=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n},\\ C=\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{x_{n}} ,\end{cases}\]证明：$A^{2}<\mathrm{e}^{B-C}$．
已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，则 $\left|z^{2}-2 z+3\right|$ 的最小值为_______．
已知圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x-2 y=0$，直线 $l: x+y+1=0$，$P$ 为 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线 $P A,P B$，且切点为 $A,B$，当 $|P C| \cdot|A B|$ 最小时，则直线 $A B$ 的方程为_______．
