2024年高考北京卷#20
设函数 $f(x)=x+k\ln (1+x)$（$k\ne 0$），直线 $l$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t,f(t))$（$t>0$）处的切线．
1、当 $k=-1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
2、求证：$l$ 不经过 $(0,0)$；
3、当 $k=1$ 时，设点 $A(t,f(t))$（$t>0$），$C(0,f(t))$，$O(0,0)$，$B$ 为 $ l $ 与 $ y $ 轴的交点，$ S_{\triangle ACO} $ 与 $ S_{\triangle ABO} $ 分别表示 $ \triangle ACO $ 与 $ \triangle ABO $ 的面积．是否存在点 $ A $ 使得 $ 2S_{\triangle ACO}=15S_{\triangle ABO} $ 成立？若存在，这样的点 $ A $ 有几个？ （参考数据：$ 1.09<\ln 3<1.10 $，$ 1.60<\ln 5<1.61 $，$ 1.94<\ln 7<1.95$）
2024年高考北京卷#19
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），以椭圆 $E$ 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 $2$ 的正方形．过点 $(0,t)$（$t>\sqrt 2$）且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点 $ A,B$，过点 $A$ 和 $C(0,1)$ 的直线 $ AC $ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $ D$．
1、求椭圆 $E$ 的方程及离心率；
2、若直线 $BD$ 的斜率为 $0$，求 $t$ 的值．
2024年高考北京卷#15
设 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合 $M=\{k\mid a_k=b_k,k\in\mathbb N^{\ast}\}$，给出下列四个结论：
① 若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 均为等差数列，则 $M$ 中最多有 $1$ 个元素；
② 若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 均为等比数列，则 $M$ 中最多有 $2$ 个元素；
③ 若 $\{a_n\}$ 为等差数列，$\{b_n\}$ 为等比数列，则 $M$ 中最多有 $3$ 个元素；
④ 若 $\{a_n\}$ 为递增数列，$\{b_n\}$ 为递减数列，则 $M$ 中最多有 $1$ 个元素．
其中正确的结论的序号是______．
2024年高考北京卷#10
已知 $M=\left\{(x,y)\mid y=x+t\left(x^2-x\right),0\leqslant t\leqslant 1,1\leqslant x\leqslant 2\right\}$ 是平面直角坐标系中的点集．设 $d$ 是 $M$ 中两点间距离的最大值，$S$ 是 $M$ 表示的图形的面积，则（ ）
A．$d=3$，$S<1$
B．$d=3$，$S>1$
C．$d=\sqrt{10}$，$S<1$
D．$d=\sqrt{10}$，$S>1$
2024年高考全国II卷#19
已知双曲线 $C: x^2-y^2=m$（$m>0$），点 $P_1(5,4)$ 在 $C$ 上，$k$ 为常数，$0<k<1$，按照如下方式次构点 $P_n$（$n=2,3,\cdots$），过 $P_{n-1}$ 斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$，令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_n$ 的坐标为 $\left(x_n,y_n\right)$．
1、若 $k=\dfrac 1 2$，求 $x_2,y_2$；
2、证明：数列 $\left\{x_n-y_n\right\}$ 是公比为 $\dfrac{1+k}{1-k}$ 的等比数列；
3、设 $S_n$ 为 $\triangle P_n P_{n+1}P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n$，$S_n=S_{n+1}$．
2024年高考全国II卷#18
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 $3$ 次，若 $3$ 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 $0$ 分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 $3$ 次，每次投中得 $5$ 分，未投中得 $0$ 分，该队的比赛成绩为为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$，乙每次投中的概率为 $q$，各次投中与相互独立．
1、若 $p=0.4$，$q=0.5$，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 $5$ 分的概率；
2、假设 $0<p<q$， ① 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 $15$ 分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？ ② 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
2024年高考全国II卷#14
在如图的 $4\times 4$ 方格表中选 $4$ 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有_______种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的 $4$ 个数之和的最大值是 ①_______；② _______．
2024年高考全国II卷#11
设函数 $f(x)=2 x^3-3 a x^2+1$，则（ ）
A．当 $a>1$ 时，$f(x)$ 有三个零点
B．当 $a<0$ 时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点
C．存在 $a,b$ 使得 $x=b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称轴
D．存在 $a$ 使得点 $(1,f(1))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称中心
2024年高考全国II卷#8
设函数 $f(x)=(x+a)\ln (x+b)$，若 $f(x)\geqslant 0$，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac 1 8$
B．$\dfrac 1 4$
C．$\dfrac 1 2$
D．$1$
2024年高考全国I卷#19
设 $m$ 为正整数，数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j$（$i<j$）后剩余的 $4 m$ 项可被平均分为 $m$ 组，且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列，则称数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是 $(i,j)~-$ 可分数列．
1、写出所有的 $(i,j)$，$1\leqslant i<j\leqslant 6$，使得数列 $a_1,a_2,\cdots,a_6$ 是 $(i,j)~-$ 可分数列；
2、当 $m\geqslant 3$ 时，证明：数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)~-$ 可分数列；
3、从 $1,2,\cdots,4 m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j$（$i<j$），记数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是 $(i,j)~-$ 可分数列的概率为 $P_m$，证明：$P_m>\dfrac 1 8$．
