Math173

设 $a , b , c>0$，$a+b+c=a b c$．求证：$\displaystyle\sum_{\rm cyc}\dfrac 1{\sqrt{1+a^2}}\leqslant\dfrac 3 2$．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#23

今年（$2023$ 年）是浙江大学建校 $ 126$ 周年，将一个边长为 $ 126$ 的正六边形划分成，边与正六边形的边平行且边长为 $ 1 $ 的正三角形，我们假设这些正三角形的顶点所能构成的正六边形的数量为 $n$，则 $n$ 在十进制下的末位数字为_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#22

三条直线 $l_1, l_2, l_3$ 两两平行，$l_1$ 与 $l_2$ 之间的距离为 $1$，$l_2$ 与 $l_3$ 之间的距离为 $\dfrac{1}{2}$，$l_1$ 与 $l_3$ 之间的距离为 $\dfrac{3}{2}$，$A, B$ 是 $l_1$ 上的两个定点且 $A B=2$，$M, N$ 是 $l_2$ 上的两个动点且 $M N=2$；三角形 $A M N$ 的外心记为点 $C$，点 $C$ 到 $l_3$ 的距离为 $d$，则 $d+|B C|$ 的最小值为_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#21

已知 $C, L \in \mathbb{R}$ 且 $L \neq 0$，有 \[\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{n^c \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^n \sin x \mathrm{~d} x}{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^n \cos x \mathrm{~d} x}=L,\]则 $L=$ _____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#20

已知 $\left|\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\left.\ln \left(1+\sin ^2 x\right)-66 \sqrt[3]{2-\cos x}-1\right)}{x^4}\right|=\dfrac{q}{p}$，$p $ 和 $ q $ 是互素的正整数，则 $ p+q=$_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#19

已知 $n \in \mathbb{N}^{*}$，存在正整数 $a_1, \cdots a_n$，$ b_1, \cdots b_n$ 使\[S(n)=\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2=n,\]则 $n$ 的所有可能取值为_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#18

已知多项式 $f_n(x)$（$n\in\mathbb N$）满足 $f_0(x)=1$，$f_n(0)=0$（$n\geqslant 1$），且\[f_{n+1}'(x)=(n+1)f_n(x),\]则 $f_{100}(2023)$ 的最后 $2 $ 位数是_____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#17

已知五位数 $n$ 满足 $2556 \mid\left(n^3-1\right)$，则 $n$ 的各位数字之和的最小值为______．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版）#16

数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2 a_n^2+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），则 $\left[2 \lg a_{2023}\right]=$ _____．

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2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #15

化简求值：$\dfrac{\tan 96^{\circ}-\tan 12^{\circ}\left(1+\dfrac{1}{\sin 6^{\circ}}\right)}{1+\tan 96^{\circ} \tan 12^{\circ}\left(1+\dfrac{1}{\sin 6^{\circ}}\right)}=$_____．

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