已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，则 $\left|z^{2}-2 z+3\right|$ 的最小值为_______．
答案 $\dfrac{2\sqrt 6}3$
解析 根据题意，有\[\begin{split} \left|z^{2}-2 z+3\right|^{2} &=\left|z^{2}-2 z+3\right|\left|\overline{z}^{2}-2 \overline{z}+3\right| \\ &=(z \overline{z})^{2}-2 z^{2} \overline{z}+3 z^{2}-2 z \overline{z}^{2}+4 z \overline{z}-6 z+3 \overline{z}^{2}-6 \overline{z}+9 \\ &=1-2 z+3 z^{2}-2 \overline{z}+4-6 z+3 \overline{z}^{2}-6 \overline{z}+9 \\ &=14-8(z+\overline{z})+3\left(z^{2}+\overline{z}^{2}\right)\\ &=8-8(z+\overline{z})+3(z+\overline{z})^2\\ &\geqslant \dfrac{8}{3},\end{split}\]其中 $z+\overline{z}$（复数 $z$ 实部的 $2$ 倍）的取值范围是 $[-2,2]$，因此所求最小值为 $\dfrac{2\sqrt 6}3$．