已知函数 $f(x)=\dfrac{x^n}{|x|-4}$，则下列结论正确的有（ ）
A．若 $n=2 k$（$k\in \mathbb N^{\ast}$），则 $f(x)$ 为偶函数
B．若 $n=2$，且函数 $y=f(x)-k$ 有两个不同的零点，则 $k$ 的取值范围为 $(-\infty,0)$
C．若 $n=1$，则当 $x_1,x_2\in(-4,4)$ 且 $x_1\neq x_2$ 时，一定有 $f\left(x_1\right)\neq f\left(x_2\right)$
D．若 $n=1$，且关于 $x$ 的方程 $k x=f(x)$ 在 $(-4,4)$ 内存在 $3$ 个实数解，则 $k$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-\dfrac 1 4\right)$
下列实数中，是方程 $8 x^2=\dfrac 1 x+6$ 的解的有（ ）
A．$\sin\dfrac{7\pi}{18}$
B．$\sin\dfrac{5\pi}{18}$
C．$\sin\left(-\dfrac{\pi}{18}\right)$
D．$\sin\left(-\dfrac{5\pi}{18}\right)$
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $1$，且 $\ln\left(a_3+1\right)$ 是 $\ln a_2,\ln\left(a_{10}-2\right)$ 的等差中项．
1、求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
2、从数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $m$ 项中（$m\geqslant 3$），随机选出两个不同的项相乘，所得结果为奇数的概率为 $P_m$．是否存在正整数 $N$，当 $m\geqslant N$ 时，恒有 $P_m>\dfrac 1 6$，若存在，求出 $N$ 的最小值．若不存在．请说明理由；
3、数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\dfrac 1{a_n a_{n+1}}$，记数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $2 n$ 项中所有奇数项的和为 $S_n$．求证：$S_n<1$．
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，且 $E$ 的短轴长为 $2$．$A,B,C,D$ 是 $E$ 上不同的四点．
1、求 $E$ 的方程；
2、若点 $A$ 在 $x$ 轴上方，且 $3\overrightarrow{F_2 A}+\overrightarrow{F_2 B}=0$，求直线 $AB$ 的斜率；
3、若 $C,D$ 都在 $x$ 轴上方，且 $CF_2 \parallel DF_1$，求四边形 $CF_2 F_1 D$ 面积的最大值．
已知 $\triangle ABC$ 中．角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $a-c\cos 2 B=c+2 b\cos C\cos B$．
1、求 $B$ 的大小；
2、若 $a+c=6$，$b=\sqrt 3 a$，求 $\triangle ABC$ 外接圆的半径；
3、若点 $M$ 在线段 $AC$ 上．$\angle ABM=\angle CBM$，$BM=4$，求 $4 a+c$ 的最小值．
甲、乙两人进行电子竞技比赛，已知每局比赛甲赢的概率为 $p_1$（$0<p_1<1$），乙赢的概率为 $p_2$，且 $p_1+p_2=1$．规定，比赛中先赢三局者获胜，比赛结束．若每局比赛结果相互独立，记比赛共进行了 $X$ 局，则 $X$ 的数学期望的最大值为_____．
在平面内，曲线 $C$ 是动点 $P(x,y)$ 到定点 $A(-2,0)$，$B(2,0)$ 距离之积为常数 $k$（$k>0$）的点的轨迹．巳知 $C$ 过原点 $O$，则（ ）
A．$k=4$
B．$C$ 关于直线 $y=x$ 对称
C．$\triangle PAB$ 面积的最大值为 $2$
D．$|OP|\leqslant 2\sqrt 2$
已知函数 $f(x)=A\cos(\omega x+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$，$0<\varphi<\pi$），若 $f(x)$ 及其导函数 $f'(x)$ 的部分图象如图所示，则[[nn]]
A．$\varphi=\dfrac{\pi}3$
B．函数 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{2\pi}3\right)$ 上单调递增
C．$f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\dfrac{\pi}6$ 对称
D．$f(x)+f^{\prime}(x)$ 的最大值为 $3$
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若函數 $f(x)$ 满足条件：存在 $[a,b]\subseteq D$，使 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值为 $\dfrac a n$，最大值为 $\dfrac b n$，其中 $n$ 为正整数，则称 $f(x)$ 为 $n$ 倍缩函数．若函数 $f(x)=\log_4\left(2^x+t\right)$ 为 $4$ 倍缩函数，则实数 $t$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0,\dfrac 1 4\right]$
B．$\left(0,\dfrac 1 4\right)$
C．$\left(-\infty,\dfrac 1 4\right]$
D．$\left(-\infty,\dfrac 14\right)$
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}^2=2-\dfrac 2{a_n+1}$．
1、若 $a_3=a_4$，求 $a_7$；
2、若 $a_1=\sqrt 2$，求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
3、记 $S_n$ 为数列 $\left\{\dfrac 1{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_2^2=\dfrac{\sqrt 3}2+1$，证明：$\dfrac 1 2\leqslant n-S_n<\dfrac 3 4$．
