已知函数 $f(x)=x^3-3 x^2-x+3$．
1、求 $\displaystyle\sum_{i=1}^7 f\left(\dfrac i 4\right)$；
2、若曲线 $y=f(x)+a\ln x$（$x\in(3,4)$）存在两条相互垂直的切线，求 $a$ 的取值范围；
3、设 $y$ 轴右侧有一点 $M$，若当且仅当过点 $M$ 恰好能作曲线 $y=f(x)$ 的 $3$ 条切线，求点 $M$ 的集合．
在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB\perp AD$，$\angle ADC=4\angle ACD=120^{\circ}$，$CD=2$，$\triangle ABC$ 的面积为 $3\sqrt 3$，将 $\triangle ABD$ 沿 $BD$ 翻折至 $\triangle PBD$，其中 $P$ 为动点．
1、证明：三棱锥 $P-BCD$ 外接球的体积为定值；
2、当点 $C$ 到平面 $PBD$ 的距离为 $\dfrac{2\sqrt 6}3$，求直线 $PB$ 与直线 $CD$ 所成角的余弦值．
在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 边上，$AD$ 平分 $\angle BAC$，设 $AB=m AC$，$AD=n AC$．
1、若 $\dfrac m n=2$，$\angle DAC+\angle BAC=\pi$，证明：$AB=AC$；
2、若 $m=3$，求 $n$ 的取值范围．
在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格 $O$ 出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第 $1$ 次运动，机器人可以运动到 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ 中的某个方格）．将机器人走出斜方格阵视为失败，反之视为成功，则运动 $2025$ 次后机器人成功的概率为_____．
一个四面体有 $5$ 条棱的棱长为 $2\sqrt 3$，且外接球的表面积为 $\dfrac{84}5\pi$，则不同于这 $5$ 条棱的棱的棱长为_____．
自元朝以来，穹顶便广泛应用于中国建筑中．作为＂北京十六景＂之一的地标性建筑，国家大剧院也采纳了穹顶设计．初步设计穹顶建模的步骤大致为：
步骤一 将半径为 $1$ 的圆 $O$（圆心为 $O$）沿直径 $PQ$ 分为两部分，得到半圆弧；
步骤二 保留其中一个半圆弧，将其 $n$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）等分，从端点 $P$ 出发依次连接各个等分点至另一个端点 $Q$，得到折线 $P-A_1-A_2-\cdots-A_{n-1}-Q$；
步骤三 将折线绕 $PQ$ 所在直线旋转，得到旋转体；
步骤四 不断调整 $n$ 值至合适，选取需要的旋转体部分并进行再调整． 设步骤三所得旋转体的表面积为 $S_n$，$\angle POA_k$ 的正弦值为 $T_k$（$k\leqslant n-1$，$k\in\mathbb N^{\ast}$），则（ ）
A．$0<\dfrac{S_{n+1}-S_n}{S_{n+1}+S_n}<5-2\sqrt 6$
B．$\dfrac{S_2}{S_3}=\dfrac{2\sqrt 2}3$
C．当 $n=180$ 时，$\dfrac{T_{29}}{T_{30}}>\dfrac{29}{30}$
D．$S_{99}>\dfrac{395}{99}\pi$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f(x-1)=f(x)+f(x-2)$，且 $f(35)>f(25)$，$f(30)>f(10)$，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．$f(20)>100$
B．$f(20)<1000$
C．$f(30)>1000$
D．$f(30)<10000$
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，直线 $l: m y=x+3 m-2$ 恒过定点 $P$，且与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$|PA|<|PB|$，则 $\dfrac{|PA|}{|PB|}$ 的取值范围为（ ）
A．$[1,2)$
B．$\left[\dfrac 1 3,\dfrac 1 2\right]$
C．$\left[\dfrac 1 2,\dfrac 4 5\right)$
D．$\left[\dfrac 1 3,1\right)$
已知函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\varphi)+B$ 的定义域为 $\mathbb R$，且满足 $f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(\pi)$ 恒成立，若 $f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}2\right)<0$，则 $\omega$ 的值可能是（ ）
A．$6$
B．$7$
C．$8$
D．$9$
设集合 $M=\{x\mid x=2 n-1,n\in\mathbb Z\}$，若 $a,b,c\in M$，$d,e\in\mathbb R$，且 $3 d+e=\dfrac b a$，$d e=\dfrac c a$，则（ ）
A．$b^2<12 a c$
B．$\exists d\in\mathbb R,e=0$
C．$b\leqslant a c$
D．$\forall d\in\mathbb Z,e\notin\mathbb Z$
