实系数一元三次方程 $a x^3+b x^2+c x+d=0$ 在复数集内有 $3$ 个根 $x_1,x_2,x_3$，则\[x_1+x_2+x_3=-\dfrac b a,\quad x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=\dfrac c a,\quad x_1 x_2 x_3=-\dfrac d a.\]设 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3-2 x^2+x-1=0$ 的 $3$ 个根，则 $\dfrac 1{x_1^2}+\dfrac 1{x_2^2}+\dfrac 1{x_3^2}=$ （ ）
A．$-4$
B．$-3$
C．$3$
D．$4$
已知 $a>0$，不等式 $\dfrac{\mathrm e^x}a\geqslant\ln (a x)$ 恒成立，则 $a$ 的最大值是（ ）
A．$2\mathrm e$
B．$\mathrm e$
C．$\sqrt{\mathrm e}$
D．$\dfrac 1{\mathrm e}$
给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自 $1,1$ 起进行构造，第 $1$ 次得到数列 $1,2,1$，第 $2$ 次得到数列 $1,3,2,3,1,\cdots$，依次类推得到如下的三角形数表： \[\begin{split} &1,1\\ &1,2,1\\ &1,3,2,3,1\\ &1,4,3,5,2,5,3,4,1\end{split}\] 记 $a_{i j}$ 表示上表中第 $i$ 行，第 $j$ 列的数，$b_i$ 表示上表中第 $i$ 行所有数字之和（$1\leqslant i\leqslant n$，$1\leqslant j\leqslant 2^{n-1}+1$，$ i,j\in \mathbb N^{\ast}$）．
1、求 $a_{54}$ 和 $a_{66}$，并求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
2、记集合 $T=\left\{S(k,t)\mid S(k,t)=b_k+b_{k+1}+\cdots+b_t,1\leqslant k<t,k,t\in \mathbb N^{\ast}\right\}$，把集合 $T$ 中的元素从小到大排列，得到新数列为 $\left\{c_n\right\}$，若 $c_m\leqslant 2025$，求 $m$ 的最大值．
已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=a\mathrm e^x+x^2-2 x+1$．
1、是否存在实数 $a$，使得 $x=2$ 为函数 $f(x)$ 的极小值点．若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由；
2、求证：当 $a\in\left(-\dfrac 5 4,0\right)$ 时，$f(x)$ 图象上总存在关于原点对称的两点．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F(1,0)$，过 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A,B$ 两点，若 $\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{FB}$，当 $\lambda=1$ 时，$|AB|=\sqrt 2$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、设椭圆的下顶点为 $D$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S_1$，$\triangle BDF$ 的面积为 $S_2$，求 $S_1-S_2$ 的最大值．
设点 $F$ 是抛物线 $x^2=4 y$ 的焦点，点 $M(0,m)$，$m>0$ 且 $m\neq 1$，动点 $N$ 在拋物线上（异于抛物线顶点），若 $\angle FNM$ 是锐角，则 $m$ 的范围为_____．
三棱锥 $P-ABC$ 中，$PB=PC$，$AB=AC=\sqrt 2$，$AB\perp AC$，且平面 $PBC\perp~\text{平面}~ABC$，记三棱锥 $P-ABC$ 的体积为 $V$，内切球的半径为 $r$，则（ ）
A．二面角 $B-PA-C$ 大于 $\dfrac{\pi}2$
B．二面角 $A-PB-C$ 小于 $\dfrac{\pi}4$
C．$r<\sqrt 2-1$
D．$\dfrac 2 r-\dfrac 1 V\geqslant\sqrt 6+2$
共轭双曲线是两条具有特殊位置关系的双曲线，如果一双曲线的实轴与虚轴分別为另一双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线．
1、设双曲线 $C_1,C_2$ 的离心率分別为 $e_1,e_2$，若 $C_1,C_2$ 互为共轭双曲线，证明：$e_1^2 e_2^2=e_1^2+e_2^2$．
2、已知双曲线 $E_1:\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 5}2$，且 $E_1$ 的共轭双曲线 $E_2$ 经过点 $A(\sqrt 2,2)$．
① 求 $E_2$ 的方程；
② 设 $M$ 为 $E_2$ 上的点，直线 $AM$ 与 $y$ 轴相交于点 $P$，点 $M$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $N$，直线 $AN$ 与 $y$ 轴相交于点 $Q$，若 $|MN|>2\sqrt 2$ 且 $|AM|\cdot|AP|=|AN|\cdot|AQ|$，求 $M$ 的坐标．
设 $\triangle A_n B_n C_n$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）的内角 $A_n,B_n,C_n$ 的对边分別为 $a_n,b_n,c_n$，已知 $b_1>c_1$，$b_1+c_1=2 a_1$．
1、求 $A_1$ 的取值范围；
2、若对任意的 $n\in \mathbb N^{\ast}$，都有 $a_n=2$，且 $a_n,b_{n+1},c_n$ 成等差数列，$a_n,c_{n+1},b_n$ 也成等差数列．证明：$\triangle A_nB_nC_n$ 的周长为定值．
