Math173

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#11

用 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 的各位数码之和，则满足 $S(n+1)$ 与 $S(n)$ 均为 $5$ 的倍数的 $n$ 的最小值（       ）

A．是四位数

B．是不大于 $50000$ 的五位数

C．大于 $50000$

D．以上答案都不对

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2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#10

已知椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$F_1, F_2$ 是两个焦点，$P$ 是椭圆上一点，且 $\angle F_1 P F_2=\dfrac{\pi}{3}$，$\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|=3$，则 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt 3}{4}$

B．$\dfrac{9\sqrt 3}{32}$

C．$\dfrac{3\sqrt 3}8$

D．以上答案都不对

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2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#9

在体积为 $ 1 $ 的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为 $ 8 $ 个长方体，则这些长方体中体积不大于 $\dfrac 18$ 的长方体个数的最小值为（       ）

A．$2$

B．$3$

C．$4$

D．以上答案都不对

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2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#8

关于 $x$ 的方程 $x^2-13[x]+11=0$ 在 $\mathbb R$ 上的解的个数为（       ）

A．$4$

B．$5$

C．$6$

D．以上答案都不对

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2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#7

关于 $x$ 的方程 $x\left(\mathrm e^{x^4-1}-1\right)+\left(\mathrm e^x-1\right)\left(x^4-1\right)=0$ 在 $\mathbb R$ 上的解的个数为（       ）

A．$1$

B．$3$

C．$5$

D．以上答案都不对

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2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#6

关于 $x$ 的方程 $2^{\cos x}=\sin x$ 在 $(0,2 \pi]$ 上的解的个数为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．以上答案都不对

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2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#5

已知四元组 $\left(a_1, a_2, a_3, a_4\right)$ 满足 $a_i \in\{1,2,3\}$，且 $10<a_1 a_2 a_3 a_4< 20$，则这样的四元组的个数为（       ）

A．$23$

B．$24$

C．$25$

D．以上答案都不对

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2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#4

数列 $1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, \cdots$ 的第 $ 2024$ 项模 $5$ 的余数为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$4$

D．以上答案都不对

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2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#3

在 $1,2, \cdots, 8$ 的排列中没有出现连续的两个数（$12,23, \cdots, 78$）的个数为（       ）

A．$14325$

B．$16687$

C．$17429$

D．以上答案都不对

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2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#2

$\sin ^3 6^{\circ}-\sin ^3 114^{\circ}+\sin ^3 126^{\circ}=$ （       ）

A．$0$

B．$-\dfrac{3\sqrt 5+3}{16}$

C．$-\dfrac{3\sqrt 5-3}{16}$

D．以上答案都不对

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