2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#20
已知双曲线 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），斜率为 $1$ 的直线与 $\Gamma$ 交于 $A B$ 两点，点 $C$ 在双曲线上且 $A C \perp B C$，$\triangle O A C$ 的重心为 $P$，$\triangle O B C$ 的重心为 $Q$，$\triangle A B C$ 的外心为 $R$，直线 $OP,OQ,OR$ 的斜率之积为 $-8$，则双曲线的离心率 $e=$ ( )
A．$\sqrt 2$
B．$\sqrt 3$
C．$2$
D．$\sqrt 5$
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#19
已知 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，$m, n \in\mathbb N^{\ast}$，$A_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left|f\left(\dfrac{k}{n}\right)-f\left(\dfrac{k-1}{n}\right)\right|$，则（ ）
A．$A_{2n}\geqslant A_n$
B．$A_{n+m}\geqslant A_n$
C．$A_{n+m}\geqslant 2A_n$
D．$A_{n+\infty}\geqslant 2A_n$
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#18
已知函数 $f(u)=u^2+a u+b-2$，$u=x+\dfrac{1}{x}$，$f(u)$ 有零点，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac2{\sqrt 5}$
B．$\dfrac{\sqrt 5}2$
C．$\dfrac 45$
D．$\dfrac 54$
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#17
已知函数 $f(x)=\ln x+\cos x$ 的所有极值点依次为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，则 $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} (a_{n+1}-a_n)=$（ ）
A．$0$
B．$\dfrac{\pi}2$
C．$\pi$
D．不存在
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#16
已知正整数 $a, b, c$ 均不大于 $100$，$a>b>c$，且 $\dfrac 1a,\dfrac 1b,\dfrac 1c$ 构成等差数列，则数组 $(a,b,c)$ 的组数为（ ）
A．$82$
B．$84$
C．$86$
D．$88$
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#15
某无限大的城市内的所有街道都是正东西或南北向的直线，街道的交叉点称为格点，某人从某个格点出发，每个格点至多经过一次，最终回到出发点．已知向左转了 $100$ 次，则向右转的次数可以是（ ）
A．$97$
B．$98$
C．$102$
D．$104$
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#14
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^2}$，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则（ ）
A．$\left[a_{100}\right]=20$
B．$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{a_n}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{3}$
C．$\left[a_{9000}\right]=30$
D．$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#13
从正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的顶点 $A$ 出发，每一次移动都等可能移动到正方体的相邻顶点，记移动 $n$ 步后回到 $A$ 点的概率为 $p_n$，则（ ）
A．$p_{10}=\dfrac{1}{2} \left(1+\dfrac{1}{3^9}\right)$
B．$p_{10}=\dfrac{1}{2} \left(1-\dfrac{1}{3^9}\right)$
C．$p_{2n-1}=0$
D．$p_{n+2}=\dfrac 19p_n+\dfrac 29$
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#12
已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $2 \sqrt{2}$，点 $P$ 满足 $\left|\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}\right|=2$，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A D}$ （ ）
A．最小值为 $4-2 \sqrt{2}$
B．最大值为 $2+2 \sqrt{2}$
C．最小值为 $2-2 \sqrt{2}$
D．最大值为 $4+2 \sqrt{2}$
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#11
若复数 $z$ 满足 $|z|=1$ 且 $z^n=z+\sqrt{2}$，则正整数 $n$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
