2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #11
已知 $O(0,0),A(a,0),B(a,1),C(0,1),D(0,-1)$，其中 $a\neq 0$．点 $M,N$ 分别满足 $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{ON}=(1-\lambda)\overrightarrow{OA}$，其中 $0<\lambda<1$，直线 $CM$ 与直线 $DN$ 交于点 $P$，则（ ）
A．当 $\lambda=\dfrac 1 2$ 时，直线 $CM$ 与直线 $DN$ 斜率乘积为 $-\dfrac 1{a^2}$
B．当 $a=-1$ 时，存在点 $P$，使得 $|DP|=2$
C．当 $a=2$ 时，$\triangle PAC$ 面积最大值为 $\dfrac{\sqrt 2-1}2$
D．若存在 $\lambda$，使得 $|DP|>2$，则 $a\in(-\infty,-\sqrt 2)\cup(\sqrt 2,+\infty)$
2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #21
给定数列 $A: a_1,a_2,a_3,a_4$ 和序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$，其中 $T_t=\left(d_{t,1},d_{t,2},d_{t,3},d_{t,4}\right)$（$t=1,2,\cdots,s$）满足：
① $d_{t,i}\in\{-1,3\}$（$i=1,2,3,4$）；
② $d_{t,1}+d_{t,2}+d_{t,3}+d_{t,4}=0$．
对数列 $A$ 进行如下 $s$ 次变换：将 $A$ 的第 $1$ 项、第 $2$ 项、第 $3$ 项、第 $4$ 项分别加 $d_{1,1},d_{1,2},d_{1,3},d_{1,4}$ 后得到的数列记作 $T_1(A)$； 将 $T_1(A)$ 的第 $1$ 项、第 $2$ 项、第 $3$ 项、第 $4$ 项分别加 $d_{2,1},d_{2,2},d_{2,3},d_{2,4}$ 后得到的数列记作 $T_2 T_1(A)$； $\cdots\cdots$； 以此类推，得到数列 $T_s\cdots T_2 T_1(A)$，简记为 $\Omega (A)$．
1、已知数列 $A: 7,8,4,4$，写出一个序列 $\Omega: T_1,T_2$，使得 $\Omega (A)$ 为 $5,6,6,6$；
2、对数列 $A: 4,6,7,8$，是否存在序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$，使得 $\Omega(A)$ 中恰有三项相等？若存在，写出一个序列 $\Omega$，若不存在，说明理由；
3、对数列 $A: 3,7,14,m$，若存在序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$（$s\leqslant 10$），使得 $\Omega(A)$ 中恰有三项相等，求 $m$ 的所有取值．
2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #20
已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-x$．
1、求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；
2、求 $f(x)$ 的极值；
3、设函数 $g(x)=f(x)+x^2+x$，求证：$g(x)$ 的最小值大于 $\dfrac 1 2$．
2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #19
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $A(0,1)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、设 $B$ 为椭圆 $C$ 的下顶点，动点 $M$ 到坐标原点 $O$ 的距离等于 $1$（$M$ 与 $A,B$ 不重合），直线 $AM$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $N$．记直线 $BM,BN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，问：是否存在常数 $\lambda$，使得 $k_1+\lambda k_2=0$ 恒成立？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由．
2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #15
已知曲线 $C: a x^2+b y^2+x y=1$（$a,b$ 为常数），给出下列结论中所有正确结论的序号为_____．
① 曲线 $C$ 关于坐标原点对称；
② 当 $a+b=0$ 时，曲线 $C$ 恒过两个定点；
③ 设 $P,Q$ 为曲线 $C$ 上的两个动点，则存在 $a>0$，$b<0$，使得 $|PQ|$ 有最大值；
④ 记曲线 $C$ 在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为 $S$，则对任意 $a>0$，存在 $b>0$，使得 $S>\dfrac 1{2\sqrt{a b}}$．
2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #14
已知函数 $f(x)=\sin\dfrac{\pi x}2 $（$x\in[0,8]$），$g(x)=\dfrac 1{x-4}$（$x\in[0,4)\cup (4,8]$），则 $f(3)+f(5)=$ _____；方程 $f(x)=g(x)$ 的所有实数解的和为_____．
2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #10
各项均为正整数的数列 $2,3,4,a,b,20,30,40$ 为递增数列．从该数列中任取 $4$ 项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对 $(a,b)$ 的个数为（ ）
A．$73$
B．$75$
C．$76$
D．$78$
2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #21
已知 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 都是无穷数列．若存在正数 $A$，对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$，均有 $\left|a_n-b_n\right|\leqslant A$，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 具有关系 $P(A)$．
1、分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系 $P(1)$，直接写出结论；
① $a_n=2 n$，$b_n=n+2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$；
② $c_n=\left(\dfrac 1 2\right)^{n-1}$，$d_n=2\cdot\left(\dfrac 1 3\right)^n+1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．
2、设 $a_n=\left(\dfrac 1 3\right)^{n-1}$，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，试判断数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 是否具有关系 $P(A)$．如果是，求出 $A$ 的最小值，如果不是，说明理由；
3、已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，若存在数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足：$\left\{b_n\right\}$ 与 $\left\{a_n\right\}$ 具有关系 $P(1)$，且 $b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$ 中至少有 $100$ 个正数，求 $d$ 的取值范围．
2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #20
已知 $a>0$，函数 $f(x)=\mathrm e^{a x}-x-1$．
1、当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；
2、若对任意 $x\in[0,+\infty)$，都有 $f(x)\geqslant 0$，求实数 $a$ 的取值范围；
3、求证：存在实数 $a$，使方程 $f(x)+\dfrac 12=0$ 有正实数解．
2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #19
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $(\sqrt 6,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．一条直线与椭圆 $E$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线为 $l$，$M\left(x_0,y_0\right)$ 为直线 $AB$ 与直线 $l$ 的交点．
1、求椭圆 $E$ 的方程；
2、若 $x_0=1$，直线 $l$ 是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由．
