已知 $a,b,c>0$ 且 $a^2+b^2=c^2$，则使不等式 $\dfrac1{32a}+\dfrac{1}{32b}+\dfrac 1c\geqslant \dfrac k{a+b+c}$ 恒成立的实数 $k$ 的最大值是_____．
每日一题[3625]映射与对应
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #19
将 $n$（$n\geqslant 2$）个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列 $\left\{a_n\right\}$，对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，如果 $a_i>a_j$，那么称数对 $\left(a_i,a_j\right)$ 构成数列 $\left\{a_n\right\}$ 的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
1、若将 $1,2,3,4$ 四个数构成的数列恰有 $2$ 个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
2、计算以下数列的逆序数．
① $a_n=-2 n+19$（$1\leqslant n\leqslant 100$）；
② $a_n=\begin{cases}\left(\dfrac 1 3\right)^n,&n~\text{为奇数},\\-\dfrac n{n+1},&n~\text{为偶数}\end{cases}$（$1\leqslant n\leqslant k$）；
3、已知数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的逆序数为 $a$，求 $a_n,a_{n-1},\cdots,a_1$ 的逆序数．
每日一题[3624]讨论与洛必达
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #18
已知函数 $f(x)=(x+1)\mathrm e^{2-a x}+1$，$g(x)=(x+1)^{a x}\mathrm e^{2+(1-a) x}+1$．
1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的极值；
2、当 $a<0$ 时，讨论 $f(x)$ 零点个数；
3、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant g(x)$，求实数 $a$ 的取值范围．
每日一题[3623]临界点在哪里？
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #10
有一组样本数据 $0,1,2,3,4$，随机添加一个数 $X$ 形成一组新的数据，且概率 $P(X=k)=\dfrac1{32}{\dbinom 5k}$（$k\in\{0,1,2,3,4,5\}$），则新的样本数据（ ）
A．第 $25$ 百分位数不变的概率是 $\dfrac 3{16}$
B．极差不变的概率是 $\dfrac{31}{32}$
C．平均值变大的概率是 $\dfrac 1 2$
D．方差变大的概率是 $\dfrac 7{32}$
每日一题[3622]不合理的费用
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #8
如图，$B$ 地在 $A$ 地的正东方向 $4$ 千米处，$C$ 地在 $B$ 地的北偏东 $30^{\circ}$ 方向 $2$ 千米处，河流的沿岸 $PQ$（曲线）上任意一点到 $A$ 的距离比到 $B$ 的距离远 $2$ 千米．现要在曲线 $PQ$ 上选一处 $M$ 建一座码头，向 $B, C$ 两地转运货物．经测算，从 $M$ 到 $B, C$ 两地修建公路的费用分别是 $a$ 万元每千米和 $2 a$ 万元每千米，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．$(2\sqrt 7-2) a$ 万元
B．$5 a$ 万元
C．$(2\sqrt 7+1) a$ 万元
D．$(2\sqrt 3+3) a$ 万元
每日一题[3620]稳如泰山
2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #7
设 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，则对于任意的 $n\in ~\mathbb N^{\ast}$，均有 $a_{n+2}<a_n$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 为递减数列的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
每日一题[3619]阅读理解
2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #19
如图，点 $Z(a,b)$，复数 $z=a+b\mathrm i$（$a,b\in\mathbb R$）可用点 $Z(a,b)$ 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，$x$ 轴叫做实轴，$y$ 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯豦数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数 $z=a+b\mathrm i$ 都可以表示成 $r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$ 的形式，即 $\begin{cases}a=r\cos\theta,\\b=r\sin\theta,\end{cases}$ 其中 $r$ 为复数 $z$ 模，$\theta$ 叫做复数 $z$ 的辐角（以 $x$ 非负半轴为始边，$\overrightarrow{OZ}$ 所在射线为终边的角），我们规定 $0\leqslant\theta<2\pi$ 范围内的辐角 $\theta$ 的值为辐角的主值，记作 $\arg z$．$r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$ 叫做复数 $z=a+b i$ 的三角形式，并给出复数三角形式的乘法公式：\[r_1\left(\cos\theta_1+\mathrm i\sin\theta_1\right)\cdot r_2\left(\cos\theta_2+\mathrm i\sin\theta_2\right)= r_1 r_2\left(\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+i\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)\right),\]棣莫佛提出了公式：\[\big(r(\cos\theta+i\sin\theta)\big)^n=r^n(\cos n\theta+\mathrm i\sin n\theta),\]其中 $r>0$，$n\in \mathbb N^{\ast}$．
1、已知 $z=\dfrac 1 2+\dfrac{\sqrt 3}2\mathrm i,w=\dfrac{\sqrt 2}2+\dfrac{\sqrt 2}2\mathrm i$，求 $z w+z w^3$ 的三角形式；
2、已知 $\theta_0$ 为定值，$0\leqslant\theta_0\leqslant\pi$，将复数 $1+\cos\theta_0+\mathrm i\sin\theta_0$ 化为三角形式；
3、设复平面上单位圆内接正二十边形的 $20$ 个顶点对应的复数依次为 $z_1,z_2,\cdots,z_{20}$，求复数 $z_1^{2024},z_2^{2024},\cdots,z_{20}^{2024}$ 所对应不同点的个数．
每日一题[3618]小磨盘
2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #18
椭圆 $C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，短轴长为 $2$，点 $P$ 为椭圆的右顶点．圆 $Q: x^2 +(y+1)^2=t^2$（$0<t<1$），过点 $P$ 作圆 $Q$ 的两条切线分别与椭圆交于 $A,B$ 两点（不同于点 $P$）．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、当 $t$ 变化时，直线 $PA,PB$ 的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
3、给定一个 $t$，椭圆上的点到直线 $AB$ 的距离的最大值为 $d$，当 $t$ 变化时，求 $d$ 的最大值，并求出此时 $t$ 的值．
每日一题[3617]马尔科夫链
2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #14
马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能目当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲口袋中装有 $1$ 个黑球和 $2$ 个白球，乙口袋中装有 $2$ 个黑球和 $1$ 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 $X_n$，恰有 $1$ 个黑球的概率为 $p_n$，则 $p_1$ 的值是_____；$X_n$ 的数学期望 $E\left(X_n\right)$ 是_____．
每日一题[3616]双曲线火锅
2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #11
直线 $y=k x$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}3=1$ 交于 $P,Q$ 两点，点 $P$ 位于第一象限，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$，点 $F$ 为双曲线的左焦点，则（ ）
A．若 $|PQ|=2\sqrt 7$，则 $PF\perp QF$
B．若 $PF\perp QF$，则 $\triangle PQF$ 的面积为 $4$
C．$\dfrac{|PF|}{|PN|}>2$
D．$|PF|-|PN|$ 的最小值为 $4$