2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #7
函数 $y=f(x)$ 的图象如左图所示，则如右图所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A．$y=f\left(1-\dfrac 1 2 x\right)$
B．$y=-f\left(1-\dfrac 1 2 x\right)$
C．$y=f(4-2 x)$
D．$y=-f(4-2 x)$
每日一题[3614]转录与翻译
2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #21
已知集合\[\Omega_n=\left\{X\mid X=\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right),x_i\in\{0,1\},i=1,2,\cdots,n\right\},\]对于任意 $X\in\Omega_n$，
操作一：选择 $X$ 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$，得到 $Y\in\Omega_{n+k}$（$k\geqslant 1$）；
操作二：删去 $X$ 中连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$，得到 $Y\in\Omega_{n-k}$（$1\leqslant k\leqslant n-1$）；
进行 $1$ 次操作一或者操作二均称为 $1$ 次变换，在第 $n$ 次（$n\in\mathbb N^{\ast}$）变换的结果上再进行 $1$ 次变换称为第 $n+1$ 次变换．
1、若对 $X=(0,1,0)$ 进行两次变换，依次得到 $Y\in\Omega_4$，$Z\in\Omega_2$．直接写出 $Y$ 和 $Z$ 的所有可能情况．
2、对于 $X=\underbrace{(0,0,\cdots,0)\in\Omega_{100}}_{100~\text{个}~0}$ 和 $Y=\underbrace{(0,1,0,1,\cdots,0,1)\in\Omega_{100}}_{50~\text{组}~0,1}$ 至少要对 $X$ 进行多少次变换才能得到 $Y$？说明理由．
3、证明：对任意 $X,Y\in\Omega_{2 n}$，总能对 $X$ 进行不超过 $n+1$ 次变换得到 $Y$．
每日一题[3613]切线方程族
2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #20
已知函数 $f(x)=\mathrm e^x\left(x^2+x\right)$，记其在点 $(a,f(a))$ 处的切线方程为：$y=g_a(x)$．定义关于 $x$ 的函数 $F_a(x)=f(x)-g_a(x)$．
1、求 $g_1(x)$ 的解析式；
2、当 $a>0$ 时，判断函数 $F_a(x)$ 的单调性并说明理由；
3、若 $a$ 满足当 $x\neq a$ 时，总有 $\dfrac{f(x)-g_a(x)}{x-a}>0$ 成立，则称实数 $a$ 为函数 $f(x)$ 的一个 $Q$ 点，求 $f(x)$ 的所有 $Q$ 点．
每日一题[3612]函数最值与最值函数
2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #15
已知函数 $f(x)=|x+1|+|a x-2|$（$a>0$）定义域为 $\mathbb R$，最小值记为 $M(a)$，给出以下四个结论：
① $M(a)$ 的最小值为 $1$；
② $M(a)$ 的最大值为 $3$；
③ $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递减；
④ $a$ 只有唯一值使得 $y=f(x)$ 的图象有一条垂直于 $x$ 轴的对称轴．
其中所有正确结论的是[[nn]]．
每日一题[3611]葫芦曲线
2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #9
音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为葫芦曲线．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为\[|y|=\left(2-\dfrac 1 2\left[\dfrac{2 x}{\pi}\right]\right)|\sin\omega x|,x\geqslant 0,\]其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．若该条曲线还满足 $\omega\in(1,3)$，经过点 $M\left(\dfrac 3 4\pi,\dfrac 3 2\right)$，则该条葫芦曲线与直线 $x=\dfrac 7 6\pi$ 交点的纵坐标为（ ）
A．$\pm\dfrac 1 2$
B．$\pm\dfrac{\sqrt 2}2$
C．$\pm\dfrac{\sqrt 3}2$
D．$\pm 1$
每日一题[3610]裂项放缩
2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #19
黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(s)$ 与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关．$\zeta(s)$ 是这样定义的：记 $\operatorname{Re}(s)$ 为复数 $s$ 的实部，$\displaystyle \psi_k(s)=\sum\limits_{n=1}^k\dfrac 1{n^s}$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）．当 $\operatorname{Re}(s)>1$ 时，有 $\zeta(s)=\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}\psi_k(s)$，故 $\psi_k(s)$ 对 $\zeta(s)$ 的研究具有重要意义．
1、已知对任意正整数 $n$，都存在唯一的整数 $a_n$ 和 $b_n$，使得 $n=a_n\cdot 2^{b_n}$，其中 $a_n$ 为奇数，$b_n$ 为自然数，求 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{10}\left(a_n+b_n\right) ;$
2、试判断是否存在正整数 $k$，使得 $\psi_k(1)=2024$，并证明你的结论；
3、求证：$\psi_k\left(\dfrac 3 2\right)<3$．
每日一题[3609]定值与最值
2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #18
已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，点 $M\left(1,\dfrac 8 3\right)$ 在 $C$ 上，且 $MF\perp x$ 轴，过点 $M$ 且与椭圆 $ C$ 有且只有一个公共点的直线与 $x$ 轴交于点 $P$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、点 $R$ 是椭圆 $C$ 上异于 $M$ 的一点，且三角形 $MPR$ 的面积为 $24$，求直线 $MR$ 的方程；
3、过点 $P$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $D,E$ 两点 $(D$ 在 $E$ 的左侧），若 $N$ 为线段 $FP$ 的中点，直线 $NE$ 交直线 $MF$ 于点 $Q$，$T$ 为线段 $DF$ 的中点，求线段 $TQ$ 的最大值．
每日一题[3608]枚举艺术
2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #11
已知 $x_1,x_2,\cdots,x_5,x_6$ 为 $1,2,\cdots,5,6$ 的任意排列，设\[\begin{split} X&=\displaystyle\min\left\{\max\left\{x_1,x_2,x_3\right\},\max\left\{x_4,x_5,x_6\right\}\right\},\\ Y&=\max\left\{\min\left\{x_1,x_2,x_3\right\},\min\left\{x_4,x_5,x_6\right\}\right\},\end{split}\]则（ ）
A．任意交换 $x_1,x_2,x_3$ 的顺序，不影响 $X$ 的取值
B．满足 $x_1<x_2<x_3$ 及 $x_4<x_5<x_6$ 的排列有 $20$ 个
C．$X=4$ 的概率为 $\dfrac 1 5$
D．$X>Y$ 的概率为 $\dfrac 9{10}$
每日一题[3607]三相箔
2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #10
已知曲线 $C: 4 x|x|=y|y|-4$，点 $F_1(0,\sqrt 5)$，$F_2(0,-\sqrt 5)$，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线 $C$ 关于原点对称
B．曲线 $C$ 存在点 $P$，使得 $\left|PF_1\right|-\left|PF_2\right|=4$
C．直线 $y=2 x$ 与曲线 $C$ 没有交点
D．点 $Q$ 是曲线 $C$ 上在第三象限内的一点，过点 $Q$ 向 $y=\pm 2 x$ 作垂线，垂足分别为 $A,B$，则 $|QA|\cdot|QB|=\dfrac 4 5$
每日一题[3606]余弦距离
2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #8
研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩，物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班 $50$ 位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量 $x , y , z$ 若 $x , y$ 的样本相关系数为 $\dfrac{12}{13}$，$y , z$ 的样本相关系数为 $\dfrac 4 5$，则 $x , z$ 的样本相关系数的最大值为（ ）
附：相关系数\[r=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)\left(y_i-\overline y\right)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(y_i-\overline y\right)^2}}\]
A．$\dfrac{48}{65}$
B．$\dfrac{63}{65}$
C．$\dfrac{64}{65}$
D．$1$