2024年12月T8八校高三联考数学试卷 #19
$n$ 为不小于 $3$ 的正整数，对整数数列 $S_0: a_1,a_2,\cdots,a_n$，可以做以下三种变换： ① 将 $a_1,a_2,\cdots,a_{n}$ 中的 $a_1$ 减 $1$，$a_2$ 加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_1$ 变换； ② 取 $i\in\{2,\cdots,n-1\}$，将 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中的 $a_i$ 减 $2$，$a_{i-1},a_{i+1}$ 均加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_i$ 变换； ③ 将 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中的 $a_n$ 减 $1$，$a_{n-1}$ 加 $1$，其余项不变，称此变换为对 $S_0$ 做 $A_n$ 变换． 将数列 $S_0$ 做一次变换得到 $S_1$，将数列 $S_1$ 做一次变换得到 $S_2$，$\cdots\cdots$ 例如：$n=4$ 时，对数列 $S_0: 0,-1,1,0$ 依次做 $A_3,A_4$ 变换，意义如下： 先对 $S_0$ 做 $A_3$ 变换得到数列 $S_1: 0,0,-1,1$，再对 $S_1$ 做 $A_4$ 变换得到数列 $S_2: 0,0,0,0$．
1、$n=5$ 时，给定数列 $S_0: 0,-1,1,0,0$，求证：可以对 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $0,0,0,0,0$；
2、$n=5$ 时，求证：对任意整数数列 $S_0: a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$，若 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$，则可以对 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $0,0,0,0,0$；
3、若将变换 ① 中的 $a_2$ 改为 $a_3$，将变换 ③ 中的 $a_{n-1}$ 改为 $a_{n-2}$，在 $n=10$ 时，求证：对任意整数数列 $S_0: a_1,a_2,\cdots,a_{10}$，若 $a_1+a_2+\cdots+a_{10}=0$，且 $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$ 和 $a_2+a_4+a_6+a_8 +a_{10}$ 均为偶数，则可以对整数数列 $S_0$ 做若干次变换得到数列 $\underbrace{0,0,\cdots,0}_{10~\text{个}}$．
