Math173

2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #19

黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(s)$ 与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关．$\zeta(s)$ 是这样定义的：记 $\operatorname{Re}(s)$ 为复数 $s$ 的实部，$\displaystyle \psi_k(s)=\sum\limits_{n=1}^k\dfrac 1{n^s}$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）．当 $\operatorname{Re}(s)>1$ 时，有 $\zeta(s)=\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}\psi_k(s)$，故 $\psi_k(s)$ 对 $\zeta(s)$ 的研究具有重要意义．

1、已知对任意正整数 $n$，都存在唯一的整数 $a_n$ 和 $b_n$，使得 $n=a_n\cdot 2^{b_n}$，其中 $a_n$ 为奇数，$b_n$ 为自然数，求 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{10}\left(a_n+b_n\right) ;$

2、试判断是否存在正整数 $k$，使得 $\psi_k(1)=2024$，并证明你的结论；

3、求证：$\psi_k\left(\dfrac 3 2\right)<3$．

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2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #18

已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，点 $M\left(1,\dfrac 8 3\right)$ 在 $C$ 上，且 $MF\perp x$ 轴，过点 $M$ 且与椭圆 $ C$ 有且只有一个公共点的直线与 $x$ 轴交于点 $P$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、点 $R$ 是椭圆 $C$ 上异于 $M$ 的一点，且三角形 $MPR$ 的面积为 $24$，求直线 $MR$ 的方程；

3、过点 $P$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $D,E$ 两点 $(D$ 在 $E$ 的左侧），若 $N$ 为线段 $FP$ 的中点，直线 $NE$ 交直线 $MF$ 于点 $Q$，$T$ 为线段 $DF$ 的中点，求线段 $TQ$ 的最大值．

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2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #11

已知 $x_1,x_2,\cdots,x_5,x_6$ 为 $1,2,\cdots,5,6$ 的任意排列，设\[\begin{split} X&=\displaystyle\min\left\{\max\left\{x_1,x_2,x_3\right\},\max\left\{x_4,x_5,x_6\right\}\right\},\\ Y&=\max\left\{\min\left\{x_1,x_2,x_3\right\},\min\left\{x_4,x_5,x_6\right\}\right\},\end{split}\]则（       ）

A．任意交换 $x_1,x_2,x_3$ 的顺序，不影响 $X$ 的取值

B．满足 $x_1<x_2<x_3$ 及 $x_4<x_5<x_6$ 的排列有 $20$ 个

C．$X=4$ 的概率为 $\dfrac 1 5$

D．$X>Y$ 的概率为 $\dfrac 9{10}$

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2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #10

已知曲线 $C: 4 x|x|=y|y|-4$，点 $F_1(0,\sqrt 5)$，$F_2(0,-\sqrt 5)$，则以下说法正确的是（       ）

A．曲线 $C$ 关于原点对称

B．曲线 $C$ 存在点 $P$，使得 $\left|PF_1\right|-\left|PF_2\right|=4$

C．直线 $y=2 x$ 与曲线 $C$ 没有交点

D．点 $Q$ 是曲线 $C$ 上在第三象限内的一点，过点 $Q$ 向 $y=\pm 2 x$ 作垂线，垂足分别为 $A,B$，则 $|QA|\cdot|QB|=\dfrac 4 5$

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2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #8

研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩，物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班 $50$ 位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量 $x , y , z$ 若 $x , y$ 的样本相关系数为 $\dfrac{12}{13}$，$y , z$ 的样本相关系数为 $\dfrac 4 5$，则 $x , z$ 的样本相关系数的最大值为（       ）

附：相关系数\[r=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)\left(y_i-\overline y\right)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(y_i-\overline y\right)^2}}\]

A．$\dfrac{48}{65}$

B．$\dfrac{63}{65}$

C．$\dfrac{64}{65}$

D．$1$

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2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #5

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_m=0$ 是 $S_n=S_{2m-n-1}$（$n<2m-1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）的（       ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

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2024年10月九省联考高三数学质量检测 #19

已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_1,f\left(a_1\right)\right)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_2,0\right)$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_2,f\left(a_2\right)\right)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_3,0\right)$，依此类推，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_n,f\left(a_n\right)\right)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）处的切线交 $x$ 轴于点 $\left(a_{n+1},0\right)$，其中数列 $\left\{a_n\right\}$ 称为函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1$ 的切线数列．

1、若 $f(x)=\sin x$，$\left\{a_n\right\}$ 是函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1=\dfrac{\pi}3$ 的切线数列，求 $a_2$ 的值；

2、若 $f(x)=-\dfrac 1 2 x^2+\dfrac 1 2$，$\left\{a_n\right\}$ 是函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1=-\dfrac 5 3$ 的切线数列，记 $b_n=\log_2\dfrac{a_n-1}{a_n+1}$，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；

3、若 $f(x)=\dfrac x{x^2-m}$（$m>0$），是否存在 $a_1$（$a_1\neq 0$），使得函数 $y=f(x)$ 关于 $a_1$ 的切线数列 $\left\{a_n\right\}$ 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的 $a_1$；若不存在，请说明理由．

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2024年10月九省联考高三数学质量检测 #14

若函数 $f(x)=\dfrac x{\mathrm e^x}-m(2 x+1)$ 恰有 $2$ 个零点，则实数 $m$ 的取值范围是____．

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2024年10月九省联考高三数学质量检测 #11

已知 $a\left({\rm e}^a-1\right)>(b-1)\ln b$，其中 $\rm{e}$ 是自然对数的底数，则（       ）

A．若 $a>0$，则 $\mathrm e^a>b$

B．若 $a>0$，则 $a>b$

C．若 $a<0$，则 $b {\rm e}^a<1$

D．若 $a<0$，则 $\mathrm e^a>2-b$

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2024年10月九省联考高三数学质量检测 #7

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，正整数 $k\geqslant 2$．

命题 $p$：若 $S_1 S_2\cdots S_k=0$，则 $a_1 a_2\cdots a_k =0$；

命题 $q$：若 $T_1 T_2\cdots T_k=0$，则 $b_{k-1}+b_k =0$； 则（       ）

A．$p$ 是真命题，$q$ 是假命题

B．$p$ 是假命题，$q$ 是真命题

C．$p$ 与 $q$ 都是真命题

D．$p$ 与 $q$ 都是假命题

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