2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #2
$\left|2^x 3^y-2^u 5^v\right|=2$ 的正整数解 $(x, y, u, v)$ 个数为_____．
每日一题[3645]两次均值
2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #1
已知 $\alpha, \beta \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$，则 代数式 $f=\dfrac{\left(1-\sqrt{\tan \dfrac{\alpha}{2} \tan \dfrac{\beta}{2}}\right)^2}{\cot\alpha+\cot \beta}$ 的最大值是_______．
每日一题[3644]极值点分布
2025年八省高考适应性模拟演练数学 #17
已知函数 $f(x)=a \ln x+\dfrac{b}{x}-x$．
1、设 $a=1$，$b=-2$，求曲线 $y=f(x)$ 的斜率为 $ 2$ 的切线方程；
2、若 $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．
每日一题[3643]旋转二面角
2025年八省高考适应性模拟演练数学 #19
在平面四边形 $A B C D$ 中，$A B=A C=C D=1$，$\angle A D C=30^{\circ}$，$\angle D A B=120^{\circ}$，将 $\triangle A C D$ 沿 $A C$ 翻折至 $\triangle A C P$，其中 $P$ 为动点．
1、设 $P C \perp A B$，三棱锥 $P-A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上．
① 证明：平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$；
② 求球 $O$ 的半径；
2、求二面角 $A-C P-B$ 的余弦值的最小值．
每日一题[3642]第一定义
2025年八省高考适应性模拟演练数学 #18
已知椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，左、右焦点分别为 $F_1(-1,0), F_2(1,0)$．
1、求 $C$ 的方程；
2、已知点 $M_0(1,4)$，证明：线段 $F_1 M_0$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点；
3、设 $M$ 是坐标平面上的动点，且线段 $F_1 M$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点，证明 $M$ 的轨迹为圆，并求该圆的方程．
每日一题[3641]必要条件探路
2025年八省高考适应性模拟演练数学 #8
已知函数 $f(x)=x|x-a|-2 a^2$．若当 $x>2$ 时，$f(x)>0$，则 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$(-\infty, 1]$
B．$[-2,1]$
C．$[-1,2]$
D．$[-1,+\infty)$
每日一题[3640]米尔黑德不等式
已知正实数 $x,y,z$ 满足 $xyz=1$，且 $0\leqslant\alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma\leqslant 2\beta$，求证：\[\dfrac 1{x^{\alpha}+y^{\beta}+z^{\gamma}}+\dfrac 1{y^{\alpha}+z^{\beta}+x^{\gamma}}+\dfrac 1{z^{\alpha}+x^{\beta}+y^{\gamma}}\leqslant 1.\]
每日一题[3638]双重最值
记 $M$ 为 $|a+b|,|a-b|,|a-c|,|b-d|$ 中最大的数，若 $c+d \geqslant 2$，则 $M$ 的最小值为_____．
每日一题[3637]忽略不重要的细节
已知函数 $f(x)=\mathrm e^{x-a}+ax^2-3ax+1$，$a\in\mathbb R$．
1、当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程；
2、当 $a>1$ 时，试判断 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上零点的个数，并说明理由；
3、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．