利用椭圆和双曲线的垂径定理解题．
1、椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 上四点 $A,B,C,D$，$AB,CD$ 的斜率均为 $-\dfrac13$，$AC,BD$ 交于点 $P$，求证：直线 $OP$ 的斜率为定值．
2、双曲线 $\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{y^2}2=1$ 上四点 $P,Q,M,N$，$P(3,1),Q(-3,-1)$，$MN$ 的斜率为 $\dfrac 13$，$O$ 为坐标原点，直线 $PM,QN$ 交于点 $A$，求证：直线 $OA$ 的斜率为定值．
3、椭圆 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$ 上四点 $A,B,C,D$，$A(2,1),B(-2,-1)$，$AC,BD$ 交于点 $M$，$AD,BC$ 交于点 $N$，求证：直线 $MN$ 的斜率为定值．
长度为 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）的线段上每隔间距 $1$ 有一个点，共 $n+1$ 个点（包括线段端点），以这些点为端点构成的线段条数为_____；这些线段长度的总和为_____．
已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=5$，$BC=12$，$CA=13$，$P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点且 $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$，则 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}=$ [[nn]]．
$n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 3$）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的 $n-1$ 个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第 $k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）次传球后，球在甲手中的概率记为 $A_n(k)$，球在乙手中的概率记为 $B_n(k)$．
1、求 $A_5(2),B_5(2),A_5(3),B_5(3)$；
2、求 $A_n(k)$； 比较 $B_n(k+1)$ 与 $\dfrac{n-2}{n-1}A_n(k)$ 的大小，并说明理由．
已知函数 $f(x)=a\ln (x+1)-x \mathrm e^{x+1}$．
1、当 $a<0$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
2、若函数 $f(x)$ 存在正零点 $x_0$，
① 求 $a$ 的取值范围；
② 记 $x_1$ 为 $f(x)$ 的极值点，证明：$x_0<3 x_1$．
设函数 $f(x)=\dfrac {\mathrm e}{2 x}+\ln x$（$x>0$）．
1、求 $f(x)$ 的单调区间；
2、已知 $a,b\in \mathbb R$，曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right),\left(x_2,f\left(x_2\right)\right),\left(x_3,f\left(x_3\right)\right)$ 处的切线都经过点 $(a,b)$．证明：
① 若 $a>\mathrm e$，则 $0<b-f(a)<\dfrac 1 2\left(\dfrac a {\mathrm e}-1\right)$；
② 若 $0<a<\mathrm e$，$x_1<x_2<x_3$，则 $\dfrac 2 e+\dfrac{\mathrm e-a}{6 \mathrm e^2}<\dfrac 1{x_1}+\dfrac 1{x_3}<\dfrac 2 a-\dfrac{\mathrm e-a}{6 \mathrm e^2}$．
设函数 $f(x)=\dfrac x{1+x}-\ln (1+x)$，$g(x)=\ln (1+x)-b x$．
1、求函数 $f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程；
2、是否存在实数 $b$，使得关于 $x$ 的不等式 $g(x)<0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立？若存在，求出 $b$ 的取值范围；若不存在，说明理由；
3、证明：不等式 $\dfrac 1 n+\ln\dfrac n {\mathrm e}<\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac k{k^2+1}\leqslant\dfrac 1 2+\ln n$．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$，$a_1=9$，$a_{n+1}=3 a_n+6\cdot 3^n$，$S_n$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．
1、证明：数列 $\left\{\dfrac{a_n}{3^n}\right\}$ 为等差数列；
2、求 $S_n$；
3、若 $b_n=\begin{cases}\dfrac{2 n}{S_n-n},&n~\text{为奇数,}\\(-1)^{\frac n 2+1}\cdot\dfrac{2\cdot 3^{n+1}}{S_n},&n~\text{为偶数},\end{cases}$ 记数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，证明：$T_{4 n}<1$．参考数据：$\ln 2\approx 0.69$．
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+d}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．其中 $d\neq 0$，$a_n>0$，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $M$ 数列．
1、已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $M$ 数列，当 $d=1$，$a_1=1$ 时．
① 求证：数列 $\left\{a_n^2\right\}$ 是等差数列，并写出数列 $\left\{a_n\right\}\left(n\in\mathbb N^{\ast}\right)$ 的通项公式；
② $T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2 n}\left(\left(a_k^4+a_k^2\right)(-1)^k\right)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．求 $\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1{T_k}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
3、若 $\left\{a_n\right\}$ 是 $M$ 数列（$n\in\mathbb N^{\ast}$），且 $d>0$，证明：存在正整数 $n$．使得 $\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac 1{a_i}>2024$．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1=1$，$a_2=a$．
1、若数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列，且 $a_8=15$，求实数 $a$ 的值；
2、若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+2}-a_n=2$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），且 $S_{19}=19 a_{10}$，求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列；
3、设数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，试探究当正实数 $a$ 满足什么条件时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有如下性质 $M$：对于任意的 $n\geqslant 2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），都存在 $m\in\mathbb N^{\ast}$ 使得 $\left(S_m-a_n\right)\left(S_m-a_{n+1}\right)<0$，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数 $a$ 的集合．
