2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #17
已知 $A$ 为双曲线 $C: x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$）的右顶点，过点 $T(0,t)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左右两支分别相交于 $M,N$ 两点．
1、若直线 $l$ 的斜率为 $2$，求 $b$ 的取值范围；
2、设直线 $AM,AN$ 分别与 $y$ 轴相交于 $P,Q$ 两点，若 $|AT|^2=|PT|\cdot|QT|$，求双曲线 $C$ 的方程．
解析
1、双曲线的渐近线为 $y=\pm bx$，因此若过点 $T(0,t)$ 且斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左右两支分别相交于 $M,N$ 两点，则 $b$ 的取值范围是 $(2,+\infty)$．
2、以 $A(1,0)$ 为基准点，设直线 $AM,AN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则 $AM:y=k_1(x-1)$，于是 $P(0,-k_1)$，类似的，有 $Q(0,-k_2)$，而直线 $MN$ 的方程为\[k_1k_2(x-1)+b^2(x+1)=(k_1+k_2)y,\]直线 $MN$ 过点 $T(0,t)$，于是\[-k_1k_2+b^2=(k_1+k_2)t\iff (t+k_1)(t+k_2)=b^2+t^2\iff |TP|\cdot |TQ|= b^2+|OT|^2,\]结合 $|AT|^2=|PT|\cdot|QT|$．可得 $|OA|=b$，于是 $b=1$，双曲线 $C$ 的方程为 $x^2-y^2=1$．