已知正实数 $x,y,z$ 满足 $xyz=1$，且 $0\leqslant\alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma\leqslant 2\beta$，求证：\[\dfrac 1{x^{\alpha}+y^{\beta}+z^{\gamma}}+\dfrac 1{y^{\alpha}+z^{\beta}+x^{\gamma}}+\dfrac 1{z^{\alpha}+x^{\beta}+y^{\gamma}}\leqslant 1.\]
解析 记参数 $k=\dfrac 1 3\gamma$，考虑柯西不等式，有\[\dfrac 1{x^{\alpha}+y^{\beta}+z^{\gamma}}\leqslant\dfrac{x^{2 k-\alpha}+y^{2 k-\beta}+z^{2 k-\gamma}}{\left(x^k+y^k+z^k\right)^2},\]轮换求和后得到\[
\sum_{\rm cyc}\dfrac{1}{x^{\alpha}+y^{\beta}+z^{\gamma}}\leqslant \dfrac{\sum\limits_{\rm cyc}\left(x^{2k-\alpha}+x^{2k-\beta}+x^{2k-\gamma}\right)}{\sum\limits_{\rm cyc}\left(x^{2k}+2x^{-k}\right)},\]只需证\[\sum_{\rm cyc}x^{2 k-\alpha}\leqslant\sum_{\rm cyc}x^{2 k},\quad \sum_{\rm cyc}x^{2 k-\gamma}\leqslant\sum_{\rm cyc}x^{2 k-\beta}\leqslant\sum_{\rm cyc}x^{-k}.\]
考虑函数 $f(t)=x^t+y^t+z^t$．若 $x,y\leqslant 1$，则 $z$ 是 $x,y,z$ 中的最大数，则其导函数\[f'(t)=x^t\ln x+y^t\ln y+z^t\ln z=\left(x^t-z^{t}\right)\ln x+\left(y^t-z^{t}\right)\ln y,\]该函数在 $t\in[0,+\infty)$ 上单调递增，在 $t\in(-\infty,0]$ 上单调递减；类似的，若 $x,y\geqslant 1$，则 $z$ 是 $x,y,z$ 中的最小数，亦有函数在 $t\in[0,+\infty)$ 上单调递增，在 $t\in(-\infty,0]$ 上单调递减．又 $f(-t)\leqslant f(2 t)$，$2 k-\alpha\in[-k,2 k]$，$2 k-\beta\in\left[-k,\dfrac k 2\right]$，因此\[f(2k-\alpha)\leqslant f(2k),\quad f(2k-\beta)\leqslant f(-k),\]命题得证．
备注 利用柯西不等式轮换求和后，只需要证明：\[ \sum\limits_{\rm cyc}\left(x^{2k-\alpha}+x^{2k-\beta}+x^{2k-\gamma}\right)\leqslant \sum\limits_{\rm cyc}\left(x^{2k}+2y^kz^k\right),\] 根据米尔黑德不等式，结合 $xyz=1$，可得\[\begin{split}\sum_{\rm cyc}x^{2k-\alpha}&=\sum_{\rm cyc}x^{2k-\frac 23\alpha}y^{\frac 13\alpha}z^{\frac 13\alpha}\leqslant \sum_{\rm cyc}x^{2k},\\ \sum_{\rm cyc}x^{2k-\beta}&=\sum_{\rm cyc}x^{-k+\frac 23\beta}y^{k-\frac 13\beta}z^{k-\frac13\beta}\leqslant\sum_{\rm cyc}y^kz^k,\\ \sum_{\rm cyc}x^{2k-\gamma}&=\sum_{\rm cyc}x^{-k+\frac 23\gamma}y^{k-\frac 13\gamma}z^{k-\frac 13\gamma}\leqslant\sum_{\rm cyc}y^kz^k,\\ \end{split}\]因此命题得证．