已知 $0<a<1$ 且 $a\neq\dfrac 1 2$，若函数 $f(x)=2\log_a x-\log_{2 a}x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）
A．$\left(\dfrac 1 4,\dfrac 1 2\right)$
B．$\left(0,\dfrac 1 4\right)$
C．$\left(\dfrac 1 4,\dfrac 1 2\right)\cup\left(\dfrac 1 2,1\right)$
D．$\left(0,\dfrac 1 4\right)\cup\left(\dfrac 1 2,1\right)$
如图所示数阵，第 $m(m\geqslant 1)$ 行共有 $m+1$ 个数，第 $m$ 行的第 $1$ 个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_{m-1}^0$，第 $2$ 个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ m^1$，第 $n$（$n\geqslant 3$）个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+n-2}^{n-1}-\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+n-2}^{n-3}$．规定：$\mathop{\rm C}\nolimits_ 0^0=1$． \[\begin{array}{ccccccc} \mathop{\rm C}\nolimits_ 0^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 1^1&&&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 1^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 2^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^0&&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 2^0&\mathop{\rm C}\nolimits_3^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^1&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 3^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^2&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 4^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^2&\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^5-\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^3&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 5^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^2&\mathop{\rm C}\nolimits_ {10}^5-\mathop{\rm C}\nolimits_ {10}^3&\mathop{\rm C}\nolimits_ {11}^6-\mathop{\rm C}\nolimits_ {11}^4\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\]
1、试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论．
2、求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数．
3、从第 $1$ 行起，每一行最后一个数依次构成数列 $\left\{a_n\right\}$，设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．是否存在正整数 $k$，使得对任意正整数 $n$，$k S_n\leqslant 4^n-1$ 恒成立？如存在，请求出 $k$ 的最大值，如不存在，请说明理由．
己知 $F$ 为抛物线 $C: x^2=2 p y$（$p>0$）的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，$\overrightarrow{FA}=\left(\sqrt 3,-\dfrac 1 4\right)$．点 $P(0,-2)$，$M,N$ 是拋物线上不同两点，直线 $PM$ 和直线 $PN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$．
1、求 $C$ 的方程．
2、存在点 $Q$，当直线 $MN$ 经过点 $Q$ 时，$3\left(k_1+k_2\right)-2 k_1 k_2=4$ 恒成立，请求出满足条件的所有点 $Q$ 的坐标．
3、对于 $(2)$ 中的一个点 $Q$，当直线 $MN$ 经过点 $Q$ 时，$|MN|$ 存在最小值，试求出这个最小值．
如图，直三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 $1$，$AB\perp BC$，$AB=2$，$BC=1$．
1、求证：$BC_1\perp A_1 C$．
2、求二面角 $B_1-A_1 C-B$ 的余弦值．
设钝角 $\triangle ABC$ 三个内角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$，若 $a=2$，$b\sin A=\sqrt 3$，$c=3$，则 $b=$ _______．
已知圆 $O: x^2+y^2=2$，过点 $M(-3,1)$ 的直线 $l$ 交圆 $O$ 于 $A,B$ 两点，且 $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$，则满足上述条件的直线 $l$ 的方程为_______．
在长方形 $ABCD$ 中，$AB=8$，$AD=6$，点 $E,F$ 分别为边 $BC$ 和 $CD$ 上两个动点（含端点），且 $EF=5$，设 $\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}=\mu\overrightarrow{DC}$，则（ ）
A．$\dfrac 1 6\leqslant\lambda\leqslant 1$，$\dfrac 3 8\leqslant\mu\leqslant 1$
B．$\lambda+\mu$ 为定值
C．$\overline{AE}\cdot\overrightarrow{AF}$ 的最小值 $50$
D．$\left|\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right|$ 的最大值为 $\sqrt{265}$
正三棱锥 $P-ABC$ 和正三棱锥 $Q-ABC$ 共底面 $ABC$，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点 $P$ 和点 $Q$ 在平面 $ABC$ 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面 $ABC$ 所成的角分别为 $\alpha,\beta$，则当 $\alpha+\beta$ 最大时，$\tan (\alpha+\beta)=$ （ ）
A．$-\dfrac 1 3$
B．$-\dfrac 2 3$
C．$-1$
D．$-\dfrac 4 3$
羽毛球比赛水平相当的甲，乙，丙三人举行羽毛球比赛．规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判．每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判．如果第 $1$ 局甲担任裁判，则第 $3$ 局甲还担任裁判的概率为（ ）
A．$\dfrac 1 4$
B．$\dfrac 1 3$
C．$\dfrac 1 2$
D．$\dfrac 2 3$
在 $\triangle ABC$ 中，$\tan A=3$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$．
1、求 $\tan B$．
2、若 $AC=\sqrt 5$，求 $AC$ 边上的中线长．
