2024年高考全国甲卷（理科）#21
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，点 $M\left(1,\dfrac 3 2\right)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $MF$ 垂直于 $x$ 轴．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、$P(4,0)$，过 $P$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$N$ 为 $FP$ 的中点，直线 $NB$ 与 $MF$ 交于 $Q$，证明：$AQ\perp y$ 轴．
2024年高考全国甲卷（理科）#20
已知函数 $f(x)=(1-a x)\ln (1+x)-x$．
1、当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
2、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant 0$，求 $a$ 的取值范围．
2024年高考全国甲卷（理科）#16
有 $ 6$ 个相同的球，分别标有数字 $1,2,3,4,5,6$，从中无放回地随机取 $3 $ 次，每次取 $1$ 个球．设 $m$ 为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 之差的绝对值不大于 $\dfrac{1}{2}$ 的概率为_______．
2024年高考全国甲卷（理科）#12
已知 $b$ 是 $a,c$ 的等差中项，直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $x^2+y^2+4y-1=0$ 交于 $A,B$ 两点，则 $|AB|$ 的最小值为（ ）
A．$2$
B．$3$
C．$4$
D．$6$
2024年高考全国甲卷（理科）#11
在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对边分别为 $a,b,c$，若 $B=\dfrac{\pi}3$，$b^2=\dfrac 9 4 a c$，则 $\sin A+\sin C=$（ ）
A．$\dfrac 32$
B．$\sqrt 2$
C．$\dfrac{\sqrt 7}2$
D．$\sqrt{3}2$
两条动直线 $y=k_1 x$ 和 $y=k_2 x$ 分别与抛物线 $C:~ y^2=2 p x$（$p>0$）相交于不同于原点的 $A,B$ 两点，当 $\triangle OAB$ 的垂心恰是 $C$ 的焦点时，$|AB|=4\sqrt 5$．
1、求 $p$．
2、若 $k_1 k_2=-4$，弦 $AB$ 中点为 $P$，点 $M(-2,0)$ 关于直线 $AB$ 的对称点 $N$ 在拋物线 $C$ 上，求 $\triangle PMN$ 的面积．
已知 $f(x)=-\dfrac 1 2\mathrm e^{2 x}+4\mathrm e^x-a x-5$．
1、当 $a=3$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，证明：$f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+x_1+x_2<0$．
如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置 $0$ 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动 $n$ 次后质点位于位置 $X_n$．
1、求 $P\left(X_4=-2\right)$．
2、求 $E\left(X_n\right)$．
3、指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．
在一个有限样本空间中，假设 $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac 1 3$，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 互斥，则（ ）
A．$P(A\cup B)=\dfrac 2 3$
B．$P(\overline C\mid A)=2 P(A\mid\overline C)$
C．$P(\overline C\mid AB)=1$
D．若 $P(C\mid B)+P(C\mid\overline B)=\dfrac 1 2$，则 $B$ 与 $C$ 互斥
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点 $A,B$ 在 $C$ 上，且满足 $\overrightarrow{F_1 A}=2\overrightarrow{F_2 B}$，$\overrightarrow{F_1 B}\cdot\overrightarrow{AB}=4 c^2-\dfrac{a^2}{16}$，则 $C$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac{2\sqrt 2}3$
B．$\dfrac{\sqrt 6}3$
C．$\dfrac 2 3$
D．$\dfrac{\sqrt 3}3$
