2024年高考全国II卷#19
已知双曲线 $C: x^2-y^2=m$（$m>0$），点 $P_1(5,4)$ 在 $C$ 上，$k$ 为常数，$0<k<1$，按照如下方式次构点 $P_n$（$n=2,3,\cdots$），过 $P_{n-1}$ 斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$，令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_n$ 的坐标为 $\left(x_n,y_n\right)$．
1、若 $k=\dfrac 1 2$，求 $x_2,y_2$；
2、证明：数列 $\left\{x_n-y_n\right\}$ 是公比为 $\dfrac{1+k}{1-k}$ 的等比数列；
3、设 $S_n$ 为 $\triangle P_n P_{n+1}P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n$，$S_n=S_{n+1}$．
2024年高考全国II卷#18
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 $3$ 次，若 $3$ 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 $0$ 分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 $3$ 次，每次投中得 $5$ 分，未投中得 $0$ 分，该队的比赛成绩为为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$，乙每次投中的概率为 $q$，各次投中与相互独立．
1、若 $p=0.4$，$q=0.5$，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 $5$ 分的概率；
2、假设 $0<p<q$， ① 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 $15$ 分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？ ② 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
2024年高考全国II卷#14
在如图的 $4\times 4$ 方格表中选 $4$ 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有_______种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的 $4$ 个数之和的最大值是 ①_______；② _______．
2024年高考全国II卷#11
设函数 $f(x)=2 x^3-3 a x^2+1$，则（ ）
A．当 $a>1$ 时，$f(x)$ 有三个零点
B．当 $a<0$ 时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点
C．存在 $a,b$ 使得 $x=b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称轴
D．存在 $a$ 使得点 $(1,f(1))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称中心
2024年高考全国II卷#8
设函数 $f(x)=(x+a)\ln (x+b)$，若 $f(x)\geqslant 0$，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac 1 8$
B．$\dfrac 1 4$
C．$\dfrac 1 2$
D．$1$
2024年高考全国I卷#19
设 $m$ 为正整数，数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j$（$i<j$）后剩余的 $4 m$ 项可被平均分为 $m$ 组，且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列，则称数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是 $(i,j)~-$ 可分数列．
1、写出所有的 $(i,j)$，$1\leqslant i<j\leqslant 6$，使得数列 $a_1,a_2,\cdots,a_6$ 是 $(i,j)~-$ 可分数列；
2、当 $m\geqslant 3$ 时，证明：数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)~-$ 可分数列；
3、从 $1,2,\cdots,4 m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j$（$i<j$），记数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是 $(i,j)~-$ 可分数列的概率为 $P_m$，证明：$P_m>\dfrac 1 8$．
2024年高考全国I卷#18
已知函数 $f(x)=\ln\dfrac x{2-x}+a x+b(x-1)^3$． 若 $b=0$，且 $f^{\prime}(x)\geqslant 0$，
1、求 $a$ 的最小值；
2、证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；
3、若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$，求 $b$ 的取值范围．
2024年高考全国I卷#14
甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$，乙的卡片上分别标有数字 $2,4,6,8$．两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的人得 $1$ 分，数字小的人得 $0$ 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分不小于 $2$ 的概率为 _______．
2024年高考全国I卷#11
造型 $\propto$ 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 $C$ 的一部分．已知 $C$ 过坐标原点 $O$，且 $C$ 上的点满足横坐标大于 $-2$，到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a$（$a<0$）的距离之积为 $4$，则[[nn]]
A．$a=-2$
B．点 $(2\sqrt 2,0)$ 在 $C$ 上
C．$C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 $1$
D．当点 $\left(x_0,y_0\right)$ 在 $C$ 上时，$y_0\leqslant\dfrac 4{x_0+2}$
2024年高考全国I卷#8
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$，且当 $x<3$ 时，$f(x)=x$，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．$f(10)>100$
B．$f(20)>1000$
C．$f(10)<1000$
D．$f(20)<10000$
