每日一题[142]直角三棱锥的性质

在三棱锥\(T-ABC\)中,\(TA,TB,TC\)两两垂直,\(T\)在平面\(ABC\)上的投影为\(D\),\(O\)为三棱锥\(T-ABC\)内任意一点,连接\(AO\)、\(BO\)、\(CO\)、\(TO\)并延长交对面于\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)、\(T'\),给出下列命题:

①  \(TA\perp BC\),\(TB\perp AC\),\(TC\perp AB\);

②  \(\triangle ABC\)是锐角三角形;

③  \(\dfrac{1}{TD^2}=\dfrac{1}{TA^2}+\dfrac{1}{TB^2}+\dfrac{1}{TC^2}\);

④  \(S_{\triangle ABC}^2=\dfrac 13\left(S_{\triangle TAB}^2+S_{\triangle TAC}^2+S_{\triangle TBC}^2\right)\)(注:\(S_{\triangle ABC}\)表示三角形\(ABC\)的面积);

⑤  \(\dfrac{OA'}{AA'}+\dfrac{OB'}{BB'}+\dfrac{OC'}{CC'}+\dfrac{OT'}{TT'}=1\).

其中正确的是_______.(写出所有正确命题的编号)


cover正确答案是①②③⑤.

QQ20150607-2

①  根据题意有\(TA\perp TBC\),于是\(TA\perp BC\).同理,\(TB\perp CA\),\(TC \perp AB\),命题正确;

②  设\(TA=a\),\(TB=b\),\(TC=c\),则\[\begin{split}\cos{A}&=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}\\&=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)-\left(b^2+c^2\right)}{2\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+c^2}}\\&=\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+c^2}}\\&>0,\end{split}\]于是角\(A\)为锐角.同理,角\(B\)、角\(C\)也为锐角,命题正确;

③  设三角形\(ABC\)的面积为\(S\),三棱锥\(T-ABC\)的体积为\(V\).由②得\[\sin A=\dfrac{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2+c^2}},\]于是\[\begin{split}S&=\dfrac 12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\\&=\dfrac 12\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2},\end{split}\]而\[V=\dfrac 13\cdot TC\cdot S_{\triangle TAB}=\dfrac 16abc,\]于是\[TD=\dfrac{V}{\dfrac 13S}=\dfrac{abc}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}},\]从而\[\dfrac{1}{TD^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2},\]因此命题正确;

④  根据③,有\[\begin{split}S^2&=\dfrac 14\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\\&=S_{\triangle TAB}^2+S_{\triangle TBC}^2+S_{\triangle TCA}^2,\end{split}\]因此命题错误.

⑤  根据空间向量的共面性质,有平面\(ABC\)上的点\(P\)满足\[\overrightarrow{TP}=\lambda\overrightarrow{TA}+\mu\overrightarrow{TB}+\nu\overrightarrow{TC},\]其中\(\lambda+\mu+\nu=1\).于是若直线\(TP\)上一点\(Q\)满足\(\overrightarrow{TQ}=x\overrightarrow{TP}\),那么\[\overrightarrow{TQ}=\lambda'\overrightarrow{TA}+\mu'\overrightarrow{TB}+\nu'\overrightarrow{TC},\]其中\(\lambda'+\mu'+\nu'=x\).
QQ20150608-3在本命题中,令\(P=T'\),\(Q=O\),则\[x=1-\dfrac{OT'}{TT'}.\]而另一方面,有\[\dfrac{OA'}{AA'}=\lambda',\dfrac{OB'}{BB'}=\mu',\dfrac{OC'}{CC'}=\nu',\]如图.因此命题正确.

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