设\(f(x)=\ln\dfrac{1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a}{n}\)，其中\(a\in (0,1]\)，\(n\)是任意给定的自然数，且\(n\geqslant 2\)，证明：当\(x\neq 0\)时，\(2f(x)<f(2x)\)．
解 当\(x\neq 0\)时，有\[f(2x)-2f(x)=\ln\dfrac{n(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a)}{\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)^2},\]因此只需要证明\[n\left(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a\right)>\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)^2.\] 构造二次函数\[f(t)=\left(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a\right)t^2-2\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)t+n,\]则当\(a\in (0,1]\)时，有\[f(t)=(t-1)^2+\left(2^xt-1\right)^2+\cdots+a\left(n^xt-1\right)^2+(1-a)\geqslant 0.\]考虑到\(x\neq 0\)，于是上述不等式中的等号无法取得，因此有\(f(t)>0\)．因此该二次函数的判别式\[\Delta=4\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)^2-4n\left(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a\right)<0,\]原命题得证．
注 也可以对\(n\)进行数学归纳证明．
练习1 已知\(a>0\)，\(2b>a+c\)，求证：\(b-\sqrt{b^2-ac}<a<b+\sqrt{b^2-ac}\)．
练习2 已知\(\left\{a_n\right\}\)是由正数组成的等比数列，\(\left\{S_n\right\}\)是它的前\(n\)项和．证明：\(S_nS_{n+2}<S_{n+1}^2\)．
练习3 已知\((c-a)^2-4(a-b)(b-c)=0\)，求证：\(a,b,c\)成等差数列．
提示
1、构造二次函数\(f(x)=ax^2-2bx+c\)．
2、构造二次函数\(f(t)=S_nt^2+2tS_{n+1}+S_{n+2}\)．
3、构造二次方程\((a-b)x^2+(c-a)x+(b-c)=0\)．