设点\({G_1}\)、\({G_2}\)分别为\(\triangle{A_1}{B_1}{C_1}\)和\(\triangle{A_2}{B_2}{C_2}\)的重心，若\(\overrightarrow{{A_1}{A_2}}=\overrightarrow{{e_1}}\)，\(\overrightarrow{{B_1}{B_2}}=\overrightarrow{{e_2}}\)，\(\overrightarrow{{C_1}{C_2}}=\overrightarrow{{e_3}}\)，则\(\overrightarrow{{G_1}{G_2}}=\)________．
一张表读懂《怎样解题》
波利亚（George Polya，1887-1985），美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。 曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。
在我看来，《怎样解题》本身并不能直接带来对解某个具体的题目时的武力值大幅加成．事实上，它更多的是告诉我们如何通过不断的解题实践更快速的积累解题经验，从而使得数学能力得到更好的锻炼．下面这张表是我整理出来的大纲，每次解完题以后回顾一下自己的解题过程，可以让收获满满的哦！
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弄清问题 |
未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？（是否有矛盾？）要确定未知数，条件是否充分？（是否有多余的？） |
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画张图．引入恰当的符号． |
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把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来？ |
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拟定计划 找出已知数与求知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题． 你应该最终得出一个求解的计划． |
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？ |
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你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？ |
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看着未知数！试着想出一个具有相同（或相似）未知数的熟悉的问题． |
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这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能利用它吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？ |
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你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？ |
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回到定义去 |
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如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？ |
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你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其他部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？ |
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你能不能从已知数据导出某些有用的东西？ |
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你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？ |
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如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？ |
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你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？ |
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实现计划 |
实现你的求解计划，检验每一步骤． |
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你是否能清楚地看到这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？ |
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回顾反思 |
你能否验证这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？ |
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你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？ |
每日一题[12] 另类的角平分线表达
设\(\odot O\)为不等边\(\triangle ABC\)的外接圆，\(\triangle ABC\)的内角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对边的长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，\(P\)是\(\triangle ABC\)所在平面内的一点，且\[\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\dfrac{c}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}+\dfrac{{b-c}}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PA}(P\neq A),\]\(Q\)为\(\triangle ABC\)所在平面外一点，\(QA=QB=QC\)．有下列命题：
① 若\(QA=QP\)，\(\angle BAC=90^\circ\)，则点\(Q\)在平面\(ABC\)上的射影恰在直线\(AP\)上；
② 若\(QA=QP\)，则\(\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PC}\)；
③ 若\(QA > QP\)，\(\angle BAC=90^\circ\)，则\(\dfrac{{BP}}{{CP}}=\dfrac{{AB}}{{AC}}\)；
④ 若\(QA > QP\)，则\(P\)在\(\triangle ABC\)内部的概率为\(\dfrac{{{S_{\vartriangle ABC}}}}{{{S_{\odot O}}}}\)（\({S_{\vartriangle ABC}}\)、\({S_{\odot O}}\)分别表示\(\triangle ABC\)与\(\odot O\)的面积）．
其中不正确的命题有________．
每日一题[11] 外心的向量表达
用给定基底或者根据具体情形选定基底后对图形中未知向量的分解，是解决向量问题或利用向量解决平面几何问题的重要核心步骤．在对平面向量的分解过程中，平面图形的性质得以代数化，从而可以通过函数、不等式等代数方法进行研究．与此同时，分解的系数也具有鲜明的几何意义，结合这些几何意义往往又可以简化问题．在学习平面向量时，体会这种代数与几何条件的互相对应与转化，对提高数形结合能力大有裨益．下面就通过一道经典的平面向量试题例说这一点．
已知\(O\)为\(\triangle ABC\)的外心，\(\cos A=\dfrac{1}{3}\)，若\(\overrightarrow{AO}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\)，则\(\alpha + \beta\)的最大值为________．
每日一题[10] 用向量法解“五心”题
利用三角形五心的向量表达（可以参考2015年1月27日每日一题）：
重心\(G\)满足
\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0,\]
外心\(O\)满足
\[\sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\]
内心\(I\)满足
\[\begin{split}a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,\\\sin A\overrightarrow{IA}+\sin B\overrightarrow{IB}+\sin C\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0\end{split}\]
垂心\(H\)满足
\[\tan A\overrightarrow{HA}+\tan B\overrightarrow{HB}+\tan C\overrightarrow{HC}=\overrightarrow 0,\]
旁心\(I_A\)满足
\[-\sin A\overrightarrow{I_AA}+\sin B\overrightarrow{I_AB}+\sin C\overrightarrow{I_AC}=\overrightarrow 0.\]
我们可以有效地通过代数计算来证明很多和三角形的五心相关的几何命题，比如：
在三角形\(ABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对的边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(2a=b+c\)．\(O\)、\(I\)分别为\(\triangle ABC\)的外心和内心，求证：\(OI\perp AI\)．
每日一题[9] “奔驰定理”与五心的向量表达
下面的这个习题可以称得上是平面向量中最优美的一个结论，并且这个结论对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的五心相关的问题，有着决定性的基石作用．
已知\(P\)为三角形\(ABC\)内一点，求证：\[s_A\overrightarrow{PA}+s_B\overrightarrow{PB}+s_C\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0,\]其中\(s_A\)、\(s_B\)、\(s_C\)分别是\(\triangle BPC\)、\(\triangle CPA\)、\(\triangle APB\)的面积．
延长\(AP\)交边\(BC\)于点\(Q\)，则
\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{\triangle APB+\triangle CPA}{\triangle ABC}\overrightarrow{AQ},\]
且根据共线向量的表达，有
\[\overrightarrow{AQ}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle APB+\triangle CPA}\overrightarrow{AC}+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle APB+\triangle CPA}\overrightarrow{AB}.\]
从而可得
\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle ABC}\overrightarrow{AC}+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle ABC}\overrightarrow{AB}.\]
对上式应用向量的换底公式（\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\)），将所有的向量改写为以\(P\)为起点的，
\[-\overrightarrow{PA}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle ABC}\left(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA}\right)+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle ABC}\left(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}\right),\]
整理即得．
由于这个定理和奔驰的logo很相似，我们把它称为奔驰定理．
这个定理也可以利用三角恒等式证明，记\(\angle APB=\alpha\)，\(\angle APC =\beta\)、\(PA=x\)、\(PB=y\)、\(PC=z\)，欲证等式左边与\(\overrightarrow{PA}\)作数量积\[\begin{split}&\quad \left(s_A\overrightarrow{PA}+s_B\overrightarrow{PB}+s_C\overrightarrow{PC}\right)\cdot\overrightarrow{PA}\\&=\dfrac 12yz\sin\left[2\pi-\left(\alpha+\beta\right)\right]\cdot x^2+\dfrac 12zx\sin\beta\cdot xy\cos\alpha+\dfrac 12xy\sin\alpha\cdot zx\cos\beta\\&=\dfrac 12x^2yz\left[-\sin\left(\alpha+\beta\right)+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta\right]\\&=0,\end{split}\]同理，欲证不等式左边与\(\overrightarrow{PB}\)、\(\overrightarrow{PC}\)作数量积得到的结果也均为\(0\)．而向量\(\overrightarrow{PA}\)、\(\overrightarrow{PB}\)、\(\overrightarrow{PC}\)不共线，因此欲证明等式左边为零向量，等式得证．
事实上，根据这个定理，我们容易得到三角形的五心的向量表达：
重心\(G\)满足
\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0,\]
外心\(O\)满足
\[\sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\]
内心\(I\)满足
\[\begin{split}a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,\\\sin A\overrightarrow{IA}+\sin B\overrightarrow{IB}+\sin C\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0\end{split}\]
垂心\(H\)满足
\[\tan A\overrightarrow{HA}+\tan B\overrightarrow{HB}+\tan C\overrightarrow{HC}=\overrightarrow 0,\]
旁心\(I_A\)满足
\[-\sin A\overrightarrow{I_AA}+\sin B\overrightarrow{I_AB}+\sin C\overrightarrow{I_AC}=\overrightarrow 0.\]
三角形的五心的向量表达是用向量法解平面几何问题的重要理论基础．
每日一题[8] 统一起点解向量题
如图，在直角三角形\(ABC\)中，已知\(BC=a\)．若长为\(2a\)的线段\(PQ\)以点\(A\)为中点，问\(\overrightarrow{PQ}\)与\(\overrightarrow{BC}\)的夹角\(\theta\)取何值时，\(\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}\)的值最大？并求出这个最大值．
每日一题[7] 三角形的内切圆
已知\(P\)为椭圆\(\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\)上一点，\(F_1\)、\(F_2\)分别为椭圆的两个焦点，圆\(M\)为三角形\(F_1PF_2\)的内切圆圆心，\(PM\)交\(x\)轴于\(N\)，求\(\dfrac{PM}{MN}\)的值．
每日一题[6] 椭圆中的椭圆
已知\(A\)、\(B\)是以\(F_1\)、\(F_2\)为焦点的椭圆上（不在长轴上）两点，且\(F_1A\parallel F_2B\)．\(M\)为\(F_1B\)与\(F_2A\)的交点，求证：\(M\)的轨迹也是以\(F_1\)、\(F_2\)为焦点的椭圆．
证明 设\(AF_1=m\)，\(BF_2=n\)，则\(AF_2=2a-m\)，\(BF_1=2a-n\)．
由题意\[\dfrac{MF_1}{MB}=\dfrac{MA}{MF_2}=\dfrac{AF_1}{BF_2}=\dfrac mn.\]
于是\[MF_1=\dfrac m{m+n}\cdot (2a-n),MF_2=\dfrac n{m+n}\cdot(2a-m).\]
因此\[MF_1+MF_2=2a-\dfrac 2{\dfrac 1m+\dfrac 1n}.\]
我们熟知\[\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac 2{ep},\]
因此原命题得证．