每日一题[66] 向量螺旋

发表于2015年3月25日由意琦行

已知\(\overrightarrow a\)，\(\overrightarrow b\)是非零向量，构造集合\[P=\left\{\overrightarrow p\left|\overrightarrow p=t\overrightarrow a+\overrightarrow b,t\in\mathcal R\right.\right\}.\]记\(P\)中模最小的向量为\(T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)\)．

（1）对于\(T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)=t\overrightarrow a+\overrightarrow b\)，求\(t\)的值．（用\(\overrightarrow a\)，\(\overrightarrow b\)来表示）

（2）证明：\(T\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)\perp \overrightarrow a\)；

（3）若\(\left|\overrightarrow a_1\right|=\left|\overrightarrow a_2\right|=1\)且\(\langle \overrightarrow a_1,\overrightarrow a_2\rangle=\dfrac{\pi}3\)．构造向量序列\(\overrightarrow{a_n}=T\left(\overrightarrow a_{n-2},\overrightarrow a_{n-1}\right)\)，其中\(n\in\mathcal N^*\)，\(n\geqslant 3\)．请直接写出\(\left|\overrightarrow{a_n}\right|\)的值．

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每日一题[65] 利用极端原理构造

发表于2015年3月24日由意琦行

已知集合\(S=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}\)（\(n\geqslant 3\)），集合\(T\subseteq\left\{\left(x,y\right)\left|x\in S,y\in S,x\neq y\right.\right\}\)且满足\(\forall a_i,a_j\in S\)（\(i,j=1,2,3,\cdots,n,i\neq j\)），\(\left(a_i,a_j\right)\in T\)与\(\left(a_j,a_i\right)\in T\)恰有一个成立．对于\(T\)定义\[d_T(a,b)=\begin{cases}1,(a,b)\in T,\\0,(b,a)\in T,\end{cases}\]以及\[l_T\left(a_i\right)=d_T\left(a_i,a_1\right)+d_T\left(a_i,a_2\right)+\cdots+d_T\left(a_i,a_{i-1}\right)+d_T\left(a_i,a_{i+1}\right)+\cdots+d_T\left(a_i,a_n\right),i=1,2,3,\cdots,n.\]

（1）若\(n=4\)，\(\left(a_1,a_2\right)\)，\(\left(a_3,a_2\right)\)，\(\left(a_2,a_4\right)\in T\)，求\(l_T\left(a_2\right)\)的值及\(l_T\left(a_4\right)\)的最大值；

（2）从\(l_T\left(a_1\right)\)，\(l_T\left(a_2\right)\)，\(\cdots\)，\(l_T\left(a_n\right)\)中任意删去两个数，记剩下的\(n-2\)个数的和为\(M\)．求证：\[M\geqslant \dfrac 12n(n-5)+3.\]

（3）对于满足\(l_T\left(a_i\right)<n-1\)（\(i=1,2,3,\cdots,n\)）的每一个集合\(T\)，集合\(S\)中是否都存在三个不同的元素\(e\)，\(f\)，\(g\)，使得\[d_T\left(e,f\right)+d_T\left(f,g\right)+d_T\left(g,e\right)=3\]恒成立，并说明理由． 继续阅读 →

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每日一题[64] 萌萌的参数方程

发表于2015年3月23日由意琦行

已知\(MN\)是过椭圆\(\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}5=1\)的左焦点\(F\)的直线（\(M,N\)在椭圆上），\(A(1,0)\)是椭圆长轴上的一个定点．直线\(MA\)，\(NA\)分别交椭圆于\(P\)、\(Q\)，求证：直线\(PQ\)与直线\(MN\)的斜率之比为定值．

QQ20150324-1

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每日一题[63] Ptolemy定理

发表于2015年3月22日由意琦行

已知\(F\)为椭圆\(\dfrac{x^2}5+y^2=1\)的右焦点，第一象限内的点\(M\)在椭圆上，若\(MF\)与\(x\)轴垂直，直线\(MN\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切于第四象限内的点\(N\)，则\(NF\)的长度为_______．

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每日一题[62] 构造方程转化问题

发表于2015年3月21日由意琦行

已知数列\(a,b,c\)成等比数列，\(a,\dfrac{b(b-1)}{2},c\)为等差数列，当\(1<a<3<c<7\)时，\(b\)的取值范围是_______．

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每日一题[61] 莫忘初衷

发表于2015年3月20日由意琦行

在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知圆\(O_1\)，圆\(O_2\)均与\(x\)轴相切，且圆心\(O_1,O_2\)与原点\(O\)共线，\(O_1,O_2\)两点的横坐标之积为\(5\)．设圆\(O_1\)与圆\(O_2\)相交于\(P\)、\(Q\)两点，直线\(l:2x-y-8=0\)，则\(P\)到直线\(l\)的距离的最小值为_______．

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每日一题[60] 向量题的图解法

发表于2015年3月19日由意琦行

已知三角形\(ABC\)中，\(\overrightarrow{CP}=\dfrac 12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)，\(\left|\overrightarrow{CP}\right|=\dfrac 12\left|\overrightarrow{AB}\right|=1\)．点\(Q\)是线段\(AB\)上一点，且\(\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{CP}=\dfrac 12\)，则\(\left|\overrightarrow{CQ}\right|\)的取值范围是_______．

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每日一题[59] 探寻几何意义

发表于2015年3月18日由意琦行

求函数\[f(x)=\cos x+\sqrt{\cos^2x-4\sqrt{2}\cos x+4\sin x+9}\]的最大值与最小值．

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练习题[13] 解答题提高练习

发表于2015年3月17日由意琦行

1、已知\(z_1,z_2\in\mathcal C^*\)，\(\left|z_1+z_2\right|=\left|z_1-z_2\right|\)．求证：\(\dfrac{z_1^2}{z_2^2}<0\)．

2、设\(n\in\mathcal N^* \),试判断是否存在\(a\in\mathcal R\)，使\[\sqrt{2n+1}\cdot\prod_{k=1}^{n}{\left(1-\dfrac{1}{2k}\right)}<a\]恒成立？请说明理由．

3、已知\(m,n\in\mathcal R\)，求证：\[{\rm e}^\frac{m+n}2<\dfrac{{\rm e}^m-{\rm e}^n}{m-n}<\dfrac{{\rm e}^m+{\rm e}^n}2.\]

4、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式为\[a_n=\dfrac{3\cdot 2^n}{4\cdot 4^n-6\cdot 2^n+2},\]求证：\(\sum\limits_{k=1}^na_k<\dfrac 32\)．

5、已知离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)的椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）与直线\(x=2\)相交于\(P\)、\(Q\)两点（点\(P\)在\(x\)轴上方），且\(PQ=2\)．点\(A\)、\(B\)是椭圆上位于直线\(PQ\)两侧的两个动点，且\(\angle APQ=\angle BPQ\)． 

（1）求椭圆\(C\)的标准方程；

（2）求四边形\(APBQ\)面积的取值范围．

6、已知函数\(f(x)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\)，\(x_1,x_2,x_3\in\mathcal R\)，且\(x_1<x_2<x_3\)．

（1）当\(x_1=0\)，\(x_2=1\)，\(x_3=2\)时，若方程\(f(x)=mx\)恰存在两个相等的实根，求实数\(m\)的值；

（2）求证：方程\(f'(x)=0\)有两个不相等的实数根；

（3）若方程\(f'(x)=0\)的两个实数根是\(\alpha\)，\(\beta\)（\(\alpha<\beta\)），试比较\(\dfrac{x_1+x_2}2\)与\(\alpha\)，\(\beta\)的大小关系，并说明理由．

7、已知函数\(f(x)=\ln{\left(\dfrac 12+\dfrac 12ax\right)}+x^2-ax\)（\(a\)为常数，且\(a>0\)）．

（1）若\(x=\dfrac 12\)是函数\(f(x)\)的一个极值点，求\(a\)的值；

（2）求证：当\(0<a\leqslant 2\)时，\(f(x)\)在\(\left[\dfrac 12,+\infty\right)\)上是增函数；

（3）若对任意的\(a\in (1,2)\)，总存在\(x_0\in\left[\dfrac 12,1\right]\)，使不等式\(f(x_0)>m\left(1-a^2\right)\)成立，求实数\(m\)的取值范围．

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每日一题[58] 切线—联结椭圆与圆的纽带

发表于2015年3月17日由意琦行

如图，过椭圆外一点引椭圆的两条切线\(PA\)与\(PB\)．椭圆上一点\(C\)处的切线与\(PA\)、\(PB\)分别交于\(M\)、\(N\)，即椭圆与三角形\(PMN\)旁切．求证：\(MN\)对椭圆的焦点\(F\)的张角大小与\(C\)点的位置无关．

QQ20150311-1

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