练习题[13] 解答题提高练习

1、已知\(z_1,z_2\in\mathcal C^*\)，\(\left|z_1+z_2\right|=\left|z_1-z_2\right|\)．求证：\(\dfrac{z_1^2}{z_2^2}<0\)．

2、设\(n\in\mathcal N^* \),试判断是否存在\(a\in\mathcal R\)，使\[\sqrt{2n+1}\cdot\prod_{k=1}^{n}{\left(1-\dfrac{1}{2k}\right)}<a\]恒成立？请说明理由．

3、已知\(m,n\in\mathcal R\)，求证：\[{\rm e}^\frac{m+n}2<\dfrac{{\rm e}^m-{\rm e}^n}{m-n}<\dfrac{{\rm e}^m+{\rm e}^n}2.\]

4、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式为\[a_n=\dfrac{3\cdot 2^n}{4\cdot 4^n-6\cdot 2^n+2},\]求证：\(\sum\limits_{k=1}^na_k<\dfrac 32\)．

5、已知离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)的椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）与直线\(x=2\)相交于\(P\)、\(Q\)两点（点\(P\)在\(x\)轴上方），且\(PQ=2\)．点\(A\)、\(B\)是椭圆上位于直线\(PQ\)两侧的两个动点，且\(\angle APQ=\angle BPQ\)． 

（1）求椭圆\(C\)的标准方程；

（2）求四边形\(APBQ\)面积的取值范围．

6、已知函数\(f(x)=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\)，\(x_1,x_2,x_3\in\mathcal R\)，且\(x_1<x_2<x_3\)．

（1）当\(x_1=0\)，\(x_2=1\)，\(x_3=2\)时，若方程\(f(x)=mx\)恰存在两个相等的实根，求实数\(m\)的值；

（2）求证：方程\(f'(x)=0\)有两个不相等的实数根；

（3）若方程\(f'(x)=0\)的两个实数根是\(\alpha\)，\(\beta\)（\(\alpha<\beta\)），试比较\(\dfrac{x_1+x_2}2\)与\(\alpha\)，\(\beta\)的大小关系，并说明理由．

7、已知函数\(f(x)=\ln{\left(\dfrac 12+\dfrac 12ax\right)}+x^2-ax\)（\(a\)为常数，且\(a>0\)）．

（1）若\(x=\dfrac 12\)是函数\(f(x)\)的一个极值点，求\(a\)的值；

（2）求证：当\(0<a\leqslant 2\)时，\(f(x)\)在\(\left[\dfrac 12,+\infty\right)\)上是增函数；

（3）若对任意的\(a\in (1,2)\)，总存在\(x_0\in\left[\dfrac 12,1\right]\)，使不等式\(f(x_0)>m\left(1-a^2\right)\)成立，求实数\(m\)的取值范围．

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 参考答案

1、提示：利用共轭复数．

2、\(a>\dfrac{\sqrt 3}{2}\)．    提示：注意不等式左边单调递减．

3、提示：作换元\({\rm e}^m=x\)，\({\rm e}^n=y\)，整理后再作换元\(t=\dfrac xy\)．

4、提示：裂项求和即得．

5、（1）\(C:\dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}2=1\)；（2）\(\left(0,4\right]\)．

提示：可以利用仿射变换，将椭圆变为圆．

6、（1）\(m=-\dfrac 14\lor m=2\)；（2）略；（3）\(\alpha<\dfrac{x_1+x_2}2<\beta\)．

7、（1）\(a=2\)；（2）略；（3）\(\left[\dfrac 14,+\infty\right)\)．

提示：（3）可以使用端点分析法．