平面向量、三角和复数是代数与几何在高中数学中融合最为紧密的部分，在这些部分中一题多解也是最为常见的．今天就给大家带来一道自主招生训练题，一起来感受一下．
如图，\(P\)为三角形\(ABC\)内部一点，且满足\(\angle BAP=\angle CAP=\angle CBP=\angle ACP\)，求证：\(BC^2=AC\cdot AB\)．
据说这是一道练习复数法的习题，但我没有用复数法解出来．
已知\(P\)为三角形\(ABC\)的费马点，记\(PA\)，\(PB\)，\(PC\)的长为\(x\)，\(y\)，\(z\)，三角形的边长为\(a\)，\(b\)，\(c\)．求证：\[(x+y+z)^2\leqslant ab+bc+ca.\]
有时候，好题并不是取决于题目的来源或是出处，而是自己的审美爱好．这点在平面解析几何试题中表现的尤其明显．一样的条件，不同的解读与转换方式会带来解法风格的截然不同．接下来的这道普普通通的试题就是典范．
已知直线\(y=k(x+2)(k>0)\)与抛物线\(C:y^2=8x\)相交于\(A\)、\(B\)两点，\(F\)为\(C\)的焦点．若\(FA=2FB\)，则\(k=\)________．
本题是2015年北京市北京大学附属中学的高一期末填空题的最后一题，综合考察了平面向量、递推（归纳）思想以及对新定义的理解与应用．对于没有学过复数的高一的学生来说，这道题还是颇有难度的，细细品来也别有一番风味．
设系列向量\(\overrightarrow{a_n}\left(n\in\mathcal N\right)\)按如下方式形成：
\(\overrightarrow{a_0}=\left(5,0\right)\)，常向量\(\overrightarrow b=\left(10,0\right)\)；
\(\overrightarrow{a_0}\)绕起点逆时针旋转\(\dfrac{\pi}4\)，得到向量\(\overrightarrow{b_0}\)，\(\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{b_0}+\overrightarrow b\)；
\(\overrightarrow{a_1}\)绕起点逆时针旋转\(\dfrac{\pi}4\)，得到向量\(\overrightarrow{b_1}\)，\(\overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{b_1}+\overrightarrow b\)；
…… ……
\(\overrightarrow{a_n}\)绕起点逆时针旋转\(\dfrac{\pi}4\)，得到向量\(\overrightarrow{b_n}\)，\(\overrightarrow{a_{n+1}}=\overrightarrow{b_n}+\overrightarrow b\)．
则\(\left|\overrightarrow{a_{2015}}\right|=\)________．
注：“绕起点”这个限制是多余的．
本题是2015年北京市东城区高二期末考试的选择最后一题改成的填空题．题干简洁干净，考察点也同样清晰明朗；难度方面，思路入口宽，但想要真正解出并不容易．总的来说就是小巧的试题，深厚的背景，是道难得的好题．
点\(P\)到点\(A\left(\dfrac 12,0\right),B(a,2)\)及到直线\(x=-\dfrac 12\)的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么\(a\)的值是________．
今天带来的题目是2015年北京海淀区高三期末理科选择最后一题．这道题目是经典的解析几何动态问题，需要运用函数与方程思想，积极探索构造不变量加以解决．
已知点\(A\)在曲线\(P:y=x^2(x>0)\)上，圆\(A\)过原点\(O\)，且与\(y\)轴的另一个交点为\(M\)．若线段\(OM\)，圆\(A\)和曲线\(P\)上分别存在点\(B\)、点\(C\)和点\(D\)，使得四边形\(ABCD\)（点\(A,B,C,D\)顺时针排列）是正方形，则称点\(A\)为曲线\(P\)的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）
A．曲线\(P\)上不存在“完美点”
B．曲线\(P\)上只存在一个“完美点”，其横坐标大于\(1\)
C．曲线\(P\)上只存在一个“完美点”，其横坐标大于\(\dfrac 12\)且小于\(1\)
D．曲线\(P\)上存在两个“完美点”，其横坐标均大于\(\dfrac 12\)
共线向量和共圆向量是向量问题中两种最重要的向量．共线向量的表达一般利用\[\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\]进行，那么如何恰当的表达共圆向量呢？ 
如图，已知扇形\(AOB\)的圆心角为\(120^\circ\)，\(P\)为弧\(AB\)上一点，\(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}\)．求\(x+y\)的取值范围． 
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设点\({G_1}\)、\({G_2}\)分别为\(\triangle{A_1}{B_1}{C_1}\)和\(\triangle{A_2}{B_2}{C_2}\)的重心，若\(\overrightarrow{{A_1}{A_2}}=\overrightarrow{{e_1}}\)，\(\overrightarrow{{B_1}{B_2}}=\overrightarrow{{e_2}}\)，\(\overrightarrow{{C_1}{C_2}}=\overrightarrow{{e_3}}\)，则\(\overrightarrow{{G_1}{G_2}}=\)________．
波利亚（George Polya，1887-1985），美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。 曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。
在我看来，《怎样解题》本身并不能直接带来对解某个具体的题目时的武力值大幅加成．事实上，它更多的是告诉我们如何通过不断的解题实践更快速的积累解题经验，从而使得数学能力得到更好的锻炼．下面这张表是我整理出来的大纲，每次解完题以后回顾一下自己的解题过程，可以让收获满满的哦！
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弄清问题 |
未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？（是否有矛盾？）要确定未知数，条件是否充分？（是否有多余的？） |
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画张图．引入恰当的符号． |
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把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来？ |
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拟定计划 找出已知数与求知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题． 你应该最终得出一个求解的计划． |
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？ |
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你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？ |
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看着未知数！试着想出一个具有相同（或相似）未知数的熟悉的问题． |
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这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能利用它吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？ |
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你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？ |
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回到定义去 |
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如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？ |
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你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其他部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？ |
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你能不能从已知数据导出某些有用的东西？ |
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你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？ |
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如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？ |
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你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？ |
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实现计划 |
实现你的求解计划，检验每一步骤． |
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你是否能清楚地看到这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？ |
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回顾反思 |
你能否验证这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？ |
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你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？ |
设\(\odot O\)为不等边\(\triangle ABC\)的外接圆，\(\triangle ABC\)的内角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对边的长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，\(P\)是\(\triangle ABC\)所在平面内的一点，且\[\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\dfrac{c}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}+\dfrac{{b-c}}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PA}(P\neq A),\]\(Q\)为\(\triangle ABC\)所在平面外一点，\(QA=QB=QC\)．有下列命题：
① 若\(QA=QP\)，\(\angle BAC=90^\circ\)，则点\(Q\)在平面\(ABC\)上的射影恰在直线\(AP\)上；
② 若\(QA=QP\)，则\(\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PC}\)；
③ 若\(QA > QP\)，\(\angle BAC=90^\circ\)，则\(\dfrac{{BP}}{{CP}}=\dfrac{{AB}}{{AC}}\)；
④ 若\(QA > QP\)，则\(P\)在\(\triangle ABC\)内部的概率为\(\dfrac{{{S_{\vartriangle ABC}}}}{{{S_{\odot O}}}}\)（\({S_{\vartriangle ABC}}\)、\({S_{\odot O}}\)分别表示\(\triangle ABC\)与\(\odot O\)的面积）．
其中不正确的命题有________．
