代数式的最值问题一般通过合理的选择参数，将代数式最值问题转换为多变元条件不等式问题或者单变元函数的最值问题．在选择参数时，有效地连接各个已知条件是我们必修的基本功．
已知三角形\(ABC\)中，\(AB\)边上的高与\(AB\)边的长相等，则\[\dfrac{AC}{BC}+\dfrac{BC}{AC}+\dfrac{AB^2}{BC\cdot AC}\]的最大值是________．
已知函数\[f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\]其中\(a,b,c,d\)为实常数，\(f(x)\)的图象经过三点\(A\left(2,\dfrac 12\right)\)，\(B\left(3,\dfrac 13\right)\)，\(C\left(4,\dfrac 14\right)\)，求\(f(1)+f(5)\)的值．
今天的问题是从2011年第二届世界数学锦标赛青年组接力赛第二轮的一道试题开始的．
求方程\[(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\]的所有实数根之和．
这个问题并不难解决\[\begin{split}&\qquad(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\\&\Leftrightarrow x^6+x^5+x^4+x^2+x+1=28x^3\\&\Leftrightarrow x^3+x^2+x+\dfrac 1x+\dfrac 1{x^2}+\dfrac 1{x^3}=28.\end{split}\] 令\[t=x+\dfrac 1x,t\in (-\infty,-2]\cup [2,+\infty)\]则上述方程可以化为\[\left(t^3-3t\right)+\left(t^2-2\right)+t=28,\]即\[(t-3)(t^2+4t+10)=0,\]舍去虚根解得\[t=3.\] 因此\[x+\dfrac 1x=3,\]即\[x^2-3x+1=0,\]其所有实数根之和为\(3\)．
这道试题并不是今天的问题，仅仅是提示而已．今天的问题是16世纪的竞赛题（那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛）：
解关于\(x\)的方程\[x^3+px+q=0.\]
问题的关键在于如何进行恰当的换元．
注意到\[\left(t+\dfrac 1t\right)^3=t^3+\dfrac 1{t^3}+3\left(t+\dfrac 1t\right).\] 也就是说，如果\(p=-3\)，那么我们做换元\(x=t+\dfrac 1t\)，方程就转化为\[t^3+\dfrac 1{t^3}+q=0,\]即\[(t^3)^2+q\cdot t^3+1=0,\]可以利用二次方程的求根公式求得\(t^3\)，进而求出\(t\)，然后代回\(x=t+\dfrac 1t\)，求根过程就完成了．
现在面临的困难是如何处理\(p\)，需要对换元进行一个小小的改造．
由于\[\left(t+\dfrac ut\right)^3=t^3+\dfrac{u^3}{t^3}+3u\left(t+\dfrac ut\right),\]因此令\(x=t+\dfrac ut\)，其中\(u\)为待定系数，那么原方程变为\[t^3+\dfrac{u^3}{t^3}+(3u+p)\cdot\left(t+\dfrac ut\right)+q=0.\] 在这个方程中，令\(u=-\dfrac p3\)，就会和之前一样变成一个关于\(t^3\)的二次方程，以下略．
事实上，任何一个三次方程\[ax^3+bx^2+cx+d=0,a\neq 0\]都可以利用完全立方公式\[\left(x+\dfrac b{3a}\right)^3=x^3+\dfrac bax^2+\dfrac {b^2}{3a^2}x+\dfrac {b^3}{27a^3}=0\]通过配方转化为\[x^3+px+q=0\]的形式．因此掌握了这个方法，就等于掌握了一般三次方程的解法．
在一般三次方程的解法中，我们用到的换元\(x=t+\dfrac ut\)同样也是解高次方程的重要换元．需要注意到的是，在每一步的求解过程中，要先弄清是求方程的实根还是所有根．
最后留一道练习题．
求关于\(x\)的方程\[x^5+10x^3+20x-4=0\]的所有根．
答案是\[x=\left(2^{\frac 35}-2^{\frac 25}\right)\cos\dfrac{2k\pi}{5}+\left(2^{\frac 35}+2^{\frac 25}\right)\mathcal{i}\sin\dfrac{2k\pi}{5},k=0,1,2,3,4.\]其中用到的代换为\(x=t-\dfrac 2t\)．
这是2006年高考数学浙江理14题，找到运动中的分界点进行恰当的分类讨论是其中的关键之处．
正四面体\(ABCD\)的棱长为\(1\)，棱\(AB\parallel\)平面\(\alpha\)，则正四面体上的所有点在平面\(\alpha\)内的射影构成的图形的面积的取值范围是________．
1、 已知\(x,y\)为正数，且满足\[\begin{cases}1\leqslant\lg (xy^2)\leqslant 2,\\-1\leqslant\lg\dfrac{x^2}y \leqslant 2,\end{cases}\] 则\(\lg\dfrac{x^3}{y^4}\)的最大值是________．
2、三棱柱\(ABC-A'B'C'\)的底是边长为\(1\)的正三角形，高\(AA'=1\)，在\(AB\)上取一点\(P\)，设三角形\(PA'C'\)与底面所成的二面角为\(\alpha\)，三角形\(PB'C'\)与底面所成的二面角为\(\beta\)，则\(\tan (\alpha+\beta)\)的最小值为________．
3、已知\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数．设\(f(x)=\left[x[x]\right]\)，当\(x\in [0,n)\)，其中\(n\in\mathcal N^*\)时，函数\(f(x)\)的值域中的元素个数\(a_n=\)________．
4、设椭圆\(\dfrac{x^2}4+y^2=1\)的左右焦点分别为\(F_1,F_2\)，\(M\)为椭圆上异于长轴端点的一点，\(\angle F_1MF_2=2\theta\)，三角形\(MF_1F_2\)的内心为\(I\)，则\(MI\cdot\cos\theta=\)_________．
5、已知三点\(A(1,y_1)\)，\(B(2,y_2)\)，\(C(3,y_3)\)，其中\(y_1,y_2,y_3\in\{4,5,6,7,8,9\}\)，若对于三角形\(ABC\)的内心，存在实数\(\lambda\)，使得\[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=\lambda\overrightarrow{IB},\]则这样的三角形共有________个．
6、已知实数\(x,y\)满足\(3x^2+2y^2=6x\)，则\(2x^2+3y^2-4x-6y\)的取值范围是________．
7、设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是\(1,2,\cdots,n\)的一个排列，把排在\(a_i\)的左边且比\(a_i\)小的数的个数称为\(a_i\)的顺序数（\(i=1,2,\cdots,n\)）．例如，在排列\(6,4,5,3,1,2\)中\(5\)的顺序数为\(1\)．那么在\(1,2,3,4,5,6,7,8\)这\(8\)个数构成的排列中，\(8\)的顺序数为\(2\)，\(7\)的顺序数为\(3\)，\(5\)的顺序数为\(3\)的不同排列数有________．
首先，祝大家情人节快乐！
在我看来，数学能力由相辅相成的的两部分组成：偏感性的直觉、观察能力、创造思维、发散思维；偏理性的验证、运算能力、逻辑思维、聚焦思维．今天带来一道同时融合几何观察与代数运算的试题．
在平面直角坐标系\(xOy\)的第一象限有点\(P\)，满足\(OP=1\)且直线\(OP\)的倾斜角为\(30^\circ\)，过\(P\)任意作一条直线分别交\(x\)轴正半轴、\(y\)轴正半轴于点\(M\)、\(N\)，求\(OM+ON-MN\)的最大值．
1、已知函数\[f(x)=\dfrac 12x^2-ax+(a-1)\ln x,a>1\]
（1）讨论函数\(f(x)\)的单调性；
（2）证明：若\(a<5\)，则对任意\(x_1,x_2\in(0,+\infty)\)且\(x_1<x_2\)，都有\[\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>-1.\]
2、（2014年湖南理）已知常数\(a>0\)，函数\[f(x)=\ln (1+ax)-\dfrac{2x}{x+2}.\]
（1）讨论\(f(x)\)在区间\((0,+\infty)\)的单调性；
（2）若\(f(x)\)存在两个极值点\(x_1,x_2\)，且\(f(x_1)+f(x_2)>0\)，求\(a\)的取值范围．
3、已知函数\[\begin{split}f(x)&=\dfrac 12x^2+a\ln x\\g(x)&=(a+1)x.\end{split}\]
（1）若函数\(f(x),g(x)\)在区间\([1,3]\)上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数\(a\)的取值范围；
（2）若\(a\in (1,e]\)，设\(F(x)=f(x)-g(x)\)，求证：当\(x_1,x_2\in [1,a]\)时，不等式\(\left|F(x_1)-F(x_2)\right|<1\)成立．
在周长为\(6\)的三角形\(ABO\)中，\(\angle AOB=60^\circ\)，点\(P\)在边\(AB\)上，\(PH\perp OA\)于\(H\)，且\(PH=\dfrac{\sqrt 3}2\)，\(OP=\dfrac{\sqrt 7}2\)，求\(OA\)．
今天继续昨天的问题，讨论较为复杂的方程的根的个数．
讨论关于\(x\)的方程\[\left|x+\dfrac 1x\right|-\left|x-\dfrac 1x\right|=kx+1\]的根的个数．
