已知正项数列\(\left\{a_n\right\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)．
（1）若\[\forall n\in\mathcal N^*,S_n=\dfrac 12\left(a_n+\dfrac{1}{a_n}\right),\]求数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式；
（2）若\[\forall n\in\mathcal N^*,a_n=\dfrac 12\left(S_n+\dfrac{1}{S_n}\right),\]求数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式．
1、已知函数\(f(x)=2mx^2-4(4-m)x+1\)，\(g(x)=mx\)，若对于任意实数\(x\)，\(f(x)\)与\(g(x)\)的值至少有一个为正数，则实数\(m\)的取值范围是_______．
2、已知\(x\in\mathcal R\)，定义：\(\lceil x\rceil\)表示不小于\(x\)的最小整数．若\(\lceil 2x+1\rceil=3\)，则\(x\)的取值范围是_______；若\(x>0\)且\(\lceil 2x\cdot \lceil x\rceil\rceil=5\)，则\(x\)的取值范围是_______．
3、\(\lim\limits_{x\to 4}{\dfrac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt x-2}}=\)_______．
4、设\(\left\{a_n\right\}\)满足：\(a_{n+1}=\dfrac{1}{4}\left(a_n^4+3\right)\)，\(a_1>1\)．求证：\[\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n^2+2a_n+3}{\left(a_n+1\right)\left(a_n^2+1\right)}=\dfrac{1}{a_1-1}.\]
5、求证：\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{2^n-\dfrac 1{2^n}}}<\dfrac 43\)．
6、在三角形\(ABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)的对边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且满足\(\left(2a-c\right)\cos B=b\cos C\)．
（1）求\(B\)的大小；
（2）求\(\cos^2A+\sin^2C\)的最大值．
7、设二次函数\(y=f(x)\)的图象过点\((0,0)\)，且满足对任意实数\(x\)均有\[-3x^2-1\leqslant f(x)\leqslant 6x+2.\]数列\(\left\{a_n\right\}\)满足：\(a_1=\dfrac 13\)，\(a_{n+1}=f\left(a_n\right)\)．
（1）确定\(f(x)\)的解析式；
（2）求证：\(a_{n+1}>a_n\)；
（3）求证：\(\dfrac{1}{\dfrac 12-a_1}+\dfrac{1}{\dfrac 12-a_2}+\cdots+\dfrac{1}{\dfrac 12-a_n}\geqslant 3^{n+1}-3\)．
若\(x,y>0\)，证明：\(\max\left\{x^y,y^x\right\}>\dfrac 12\)．
已知\(a>0\)，\(a^2-2ab+c^2=0\)，\(bc>a^2\)，试比较\(a,b,c\)的大小．
已知互不相等的四个实数\(a,b,c,d\)满足\[a+\dfrac 1b=b+\dfrac 1c=c+\dfrac 1d=d+\dfrac 1a=x,\]求\(x\)的所有可能的值．
已知函数\(f(x)=2x-\dfrac{x^2}{\pi}+\cos x\)．设\(x_1,x_2\in (0,\pi)\)，\(x_1\neq x_2\)且\(f(x_1)=f(x_2)\)．若\(x_1,x_0,x_2\)成等差数列，则（ ）
A．\(f'(x_0)<0\)
B．\(f'(x_0)=0\)
C．\(f'(x_0)>0\)
D．\(f'(x_0)\)的符号不确定
2014年高考湖北卷理科数学第22题、文科数学第21题： 将\({\mathrm e}^3\)，\(3^{\mathrm e}\)，\(\pi^{\mathrm e}\)，\({\mathrm e}^\pi\)，\(3^\pi\)，\(\pi^3\)从小到大排列． 继续阅读
（2015年昆明市第二次统测）三角形\(ABC\)中，\(BC\)边上的中垂线分别交\(BC\)、\(AC\)于\(D\)、\(M\)．若\(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=6\)，\(AB=2\)，则\(AC=\)_______．
（2015年北京市东城区高三一模数学理科）在平面直角坐标系\(xOy\)中，动点\(E\)到定点\((1,0)\)的距离与它到直线\(x=-1\)的距离相等．
（1）求动点\(E\)的轨迹\(C\)的方程；
（2）设动直线\(l:y=kx+b\)与曲线\(C\)相切于点\(P\)，与直线\(x=-1\)相交于点\(Q\)．证明：以\(PQ\)为直径的圆恒过\(x\)轴上的某定点．
数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}a_n+(n+2)a_{n+1}+na_n+n^2+2n+2=0\)，求数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式．
