2011年高考数学重庆卷压轴题：
设实数数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，满足$S_{n+1}=a_{n+1}S_n$($n\in\mathcal N^*$)．
（1）若$a_1,S_2,-2a_2$成等比数列，求$S_2$和$a_3$；
（2）求证：对$k\geqslant 3$，有$0\leqslant a_{k+1}\leqslant a_k\leqslant \dfrac 43$．
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每日一题[393]椭圆中的等腰三角形
椭圆$C$：$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$，若椭圆$C$上恰好有$6$个不同的点$P$，使得$\triangle F_1F_2P$为等腰三角形，则椭圆$C$的离心率的取值范围是_____．
每日一题[392]从空间回到平面
已知点$A,B$分别为异面直线$a,b$上的点，且直线$AB$与$a,b$均垂直，动点$P\in a$，$Q\in b$，$PA+QB$为定值，则线段$PQ$中点$M$的轨迹是（ ）
A．平行四边形
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
每日一题[391]友好三角形
2016年北京市海淀区高三期末理14（填空压轴题）：
已知$\triangle ABC$，若存在$\triangle A_1B_1C_1$，满足$$\dfrac {\cos A}{\sin A_1}=\dfrac {\cos B}{\sin B_1}=\dfrac {\cos C}{\sin C_1}=1,$$则称$\triangle A_1B_1C_1$是$\triangle ABC$的一个“友好”三角形．
（1）在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____；（请写出所有符合要求的条件的序号）
①$A=90^\circ,B=60^\circ,C=30^\circ$；
②$A=75^\circ,B=60^\circ,C=45^\circ$；
③$A=75^\circ,B=75^\circ,C=30^\circ$．
（2）若等腰$\triangle ABC$存在“友好”三角形，则其顶角的度数为____．
每日一题[390]级数放缩
2016年浙江省宁波市高三期末联考压轴题：
对任意正整数$n$，设$a_n$是方程$x^2+\dfrac xn=1$的正根．
（1）求证：$a_{n+1}>a_n$；
（2）求证：$\dfrac{1}{2a_2}+\dfrac{1}{3a_3}+\cdots +\dfrac{1}{na_n}<1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n$．
每日一题[389]桥梁函数
编者按 本文作者凯凯，由meiyun编辑修改．
已知函数$f(x)=\dfrac {x-1}{\mathrm{e}^x}$．
（1）求函数$f(x)$的单调区间和极值；
（2）若$x_1\ne x_2$，且$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2>4$．
每日一题[388]抛物线动起来
设变量$x,y$满足约束条件$$\begin{cases} y-1\geqslant 0,\\x+y-4\leqslant 0,\\y-1\leqslant k(x-1),\end{cases}$$其中$k\in\mathcal{R}$，$k>0$．
（1）当$k=1$时，$\dfrac {y}{x^2}$的最大值为____；
（2）若$\dfrac {y}{x^2}$的最大值为$1$，则实数$k$的取值范围是____．
每日一题[387]勘破天机
等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n>0$，且$$S_2\cdot S_3\cdots S_n=n(a_2^2-c)(a_3^2-c)\cdots (a_n^2-c),$$其中$n\geqslant 2$且$n\in\mathcal N$．若$a_n\leqslant \dfrac n2$($n\in\mathcal N^*$)，则实数$c$的取值范围是_______．
每日一题[386]分离变量法
编者按 本文作者我爱数学，原标题《证明与求解》，由meiyun编辑整理．
已知\(f(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+b-a\)（\(a,b\in\mathcal{R}\)，且\(a,b\)不同时为\(0\)）．
(1)当\(a=\dfrac{1}{3}\)时，若\(f(x)>-\dfrac{1}{3}\)对\(\forall x\in\mathcal{R}\)恒成立，求\(b\)的范围；
(2)求证：\(f(x)\)在\((-1,0)\)内至少有一个零点．
每日一题[385]数与形的完美融合
将一堆小球（数量不小于$2$）分为两堆，记录两堆所包含的小球数之积，将这种操作称为“分堆”，将得到的积称为“分堆积”．将一堆包含$n$个小球的小球进行一次“分堆”，对应的“分堆积”设为$p_1$；从得到的两堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为$p_2$；再从得到的三堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为$p_3$；依次进行下去，直到最后得到$n$堆小球（每堆的小球数量均为$1$）为止．设$$S(n)=p_1+p_2+\cdots +p_{n-1},$$证明：$S(n)$是一个与分堆的具体过程无关的定值．