2011年高考江西卷理科数学第10题（略去了选项）：
如图，一个直径为\(1\)的小圆，沿着直径为\(2\)的大圆内壁的顺时针方向滚动，\(M\)和\(N\)是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点\(M\)、\(N\)在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
解 这是一个动态几何问题，涉及的运动很复杂．
如图，对于这个运动，我们考虑将\(MN\to M_1N_1\)的运动分解为
① 小圆在大圆内的转动（将小圆想象为一枚一元硬币，数字始终朝正上方），相当于“公转”；
② 小圆自身的转动，相当于“自转”．
“公转”部分比较简单，设旋转角为\(\theta_1\)；
“自转”可以认为是“公转”引起的．在“公转”过程中，接触点经过的长度（弧\(MM_0\)的长度）由“自转”提供（弧\(M_0M_1\)的长度），因此弧\(MM_0\)的长度与弧\(M_0M_1\)的长度相等．（可以逆着滚动过程观察）
因为小圆的半径为大圆半径的\(\dfrac 12\)，因此\(\theta_2=2\theta_1\)，于是点\(M_1\)在直线\(MN\)上．
又\(M_1N_1\)为直径，因此\(NN_1\perp MN\)．这样就得到了所求的轨迹：
接下来，原问题给的是半径比为\(2:1\)的情形，下面给出当半径比发生变化时的不同轨迹．
如，半径比为\(3:1\)时，是这样的：
而半径比为\(4:1\)时，是这样的：
请读者想一想，下面的图对应的半径比是多少？（答案在练习题之后）
照例给出一道练习题．
（2012年高考山东理科数学第16题）如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，一单位圆的圆心的初始位置在\((0,1)\)，此时圆上一点\(P\)的位置在\((0,0)\)，圆在\(x\)轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于\((2,1)\)时，\(\overrightarrow{OP}\)的坐标为_______．
练习题的答案是\(\left(2-\sin 2,1-\cos 2\right)\)．
文中问题答案是\(5:2\)．