2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #9
记 $f(x)=A_{1} \sin \left(\omega_{1} x+\varphi_{1}\right)$，$ g(x)=A_{2} \sin \left(\omega_{2} x+\varphi_{2}\right)$（$A_{1}, A_{2}, \omega_{1}, \omega_{2},\varphi_1,\varphi_2>0$）所有零点分别构成集合 $S_{1}, S_{2}$，二者的所有公共点横坐标构成集合 $S_{3}$，已知 $S_{2}=S_{3}$，$S_{1} \neq S_{2}$，且 $f(x),g(x)$ 没有相同的极值点，则（ ）
A．$S_{2} \varsubsetneqq S_{1}$
B．$\dfrac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \in \mathbb{N}$
C．$\dfrac{\varphi_{1}}{\varphi_{2}} \in \mathbb{Q}$
D．$A_{1} \omega_{1} \leqslant A_{2} \omega_{2}$
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #8
若存在 $a>0$ 和定义在 $\mathbb{R}$ 上的 $f(x)$，使得 $f(x+a)=a f(x), f(x) \geqslant b^{x}$，则 $b$ 的最大值为（ ）
A．$\mathrm e$
B．$\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$
C．$\dfrac{1}{\mathrm{e}}$
D．${\mathrm e}^{\mathrm e}$
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$ a_{n+1}=\ln \left(\mathrm e^{a_n}-1\right)-\ln a_n$，则（ ）
A．$\mathrm e^{a_2}=\mathrm e-1$
B．$a_{n+1}>a_n$
C．$ a_2<4 a_4$
D．$a_{2026}>\dfrac{1}{2025}$
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #7
已知 $\log _{2} x+\log _{3} y=2 \log _{6}(x y)$，则下列关系一定不正确的是（ ）
A．$1<x<y$
B．$y<x<1$
C．$y>x+1$
D．$x>y+1$
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #5
已知 $\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$，$\beta \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$，$ \sin \alpha \tan \beta=1$，则 $\dfrac{\alpha}{\beta}$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
2026年2月港梦杯高考数学模拟试卷 #4
已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 和双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ 且 $e_{1} e_{2}=1$，则 $e_{1}=$ （ ）
A．$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
B．$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
C．$\dfrac{1}{3}$
D．$\dfrac{2}{3}$
已知以下事实：反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$（$k \neq 0$）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
1、求函数 $y=\dfrac{1}{2 x}$ 的图象 $C_0$ 的实轴长；
2、将曲线 $C_0$ 绕原点顺时针转 $\dfrac{\pi}{4}$，得到曲线 $C$．
① 写出曲线 $C$ 的方程．
② 已知点 $A$ 是曲线 $C$ 的左顶点，圆 $E:(x-1)^2+(y-1)^2=r^2$（$r>0$）与直线 $l: x=1$ 交于 $P,Q$ 两点，直线 $A P,A Q$ 分别与双曲线 $C$ 交于 $M,N$ 两点，试问：点 $A$ 到直线 $M N$ 的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时 $r$ 的值；若不存在，说明理由．
已知椭圆 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 的右焦点 $F(1,0)$，过定点 $P(2,0)$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点，直线 $FA,FB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求证：$k_1+k_2$ 为定值．
已知焦点在 $x$ 轴上，中心在原点 $O$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆经过点 $M(2,1)$，动点 $A, B$（不与点 $M$ 重合）均在椭圆上，且直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率之和为 $1$．
1、求椭圆的方程；
2、求证：直线 $A B$ 经过定点．
已知在 $\triangle ABC$ 中，$B=\dfrac{2\pi}3$，$BC>AB$，点 $D$ 满足 $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$，且 $BD=1$，则 $AC$ 的取值范围是_____．
