Math173

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #4

$88$ 条直线最多可以围成正三角形的个数为_____．

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2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #2

已知实数 $x,y$ 满足 $x-3\sqrt y=\sqrt{x-3y}$，则 $x$ 的最大值为_____．

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2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #20

已知函数 $f(x)=\ln (a x+1)-x$，其中 $a>0$．

1、当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处切线的方程；

2、当 $a=2$ 时，证明：对任意的 $t\in(0,+\infty)$，曲线 $y=f(x)$ 总在直线 $y=x+t$ 的下方；

3、若函数 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$，且 $0<x_2-x_1<1$，求 $a$ 的取值范围．

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2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #19

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左右顶点分别为 $A_1,A_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，点 $T(0,1)$，$\triangle TA_1 A_2$ 的面积为 $2$． 

1、 求椭圆 $E$ 的方程；

2、过点 $T$ 且斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $E$ 于点 $C,D$，线段 $CD$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于点 $Q$，点 $Q$ 关于直线 $CD$ 的对称点为 $P$．若四边形 $PCQD$ 为正方形，求 $k$ 的值．

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2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #15

已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac 5 2-\dfrac 1{a_n}$（$n=1,2,3,\cdots$）．下列四个结论中所有正确结论的序号是_____．

① 存在 $a_1$，使得集合 $\left\{n\mid a_n<0,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中有无穷多个元素；

② 存在 $a_1$，使得集合 $\left\{n\mid a_n<2,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中有有限个元素；

③ 对于任意的 $a_1$，集合 $\left\{n\mid a_n<0,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中至多有一个元素；

④ 当 $a_1=1$ 时，集合 $\left\{n\mid a_n<a_{n+1}<2,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}=\mathbb N^{\ast}$．

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2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #10

如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$E$ 为棱 $AA_1$ 的中点，$P$ 为正方体表面上的动点，且 $\overrightarrow{D_1 P}\perp\overrightarrow{CE}$．设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $W$，则（       ）

A．$W$ 是平行四边形，且周长为 $2\sqrt 2+2\sqrt 5$

B．$W$ 是平行四边形，且周长为 $3\sqrt 2+2\sqrt 5$

C．$W$ 是等腰梯形，且周长为 $2\sqrt 2+2\sqrt 5$

D．$W$ 是等腰梯形，且周长为 $3\sqrt 2+2\sqrt 5$

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2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #19

已知集合 $S=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}$（$n\geqslant 3$），集合 $T\subseteq\{(x,y)\mid x\in S,y\in S,x\neq y\}$，且满足对任意 $a_i,a_j\in S$（$1\leqslant i,j\leqslant n$，$i,j\in\mathbb N^{\ast}$，$i\ne j$），$(a_i,a_j)$ 和 $(a_j,a_i)$ 中恰有一个在 $T$ 中．对于 $T$ 定义： $$d_T(a,b)=\begin{cases}1,&(a,b)\in T\\0,&(b,a)\in T,\end{cases}\quad l_T\left(a_l\right)=\displaystyle\sum_{m=1}^{l-1}d_T\left(a_l,a_m\right)+\sum_{m=l+1}^n d_T\left(a_l,a_m\right) .$$

1、若 $n=4$，$\left(a_1,a_2\right),\left(a_3,a_2\right),\left(a_2,a_4\right)\in T$，求 $l_T\left(a_2\right)$ 的值及 $l_T\left(a_4\right)$ 的最大值；

2、从 $l_T\left(a_1\right),l_T\left(a_2\right),\cdots,l_T\left(a_n\right)$ 中任意删去两个数，记剩下的 $(n-2)$ 个数的和为 $M$，证明：$M\geqslant\dfrac 1 2 n(n-5)+3$；

3、求证：对于满足 $l_T\left(a_l\right)<n-1$（$l=1,2,3,\cdots,n$）的每一个集合 $T$，集合 $S$ 中都存在三个不同的元素 $e,f,g$，使得 $d_T(e,f)+d_T(f,g)+d_T(g,e)=3$．

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2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #18

已知 $m>1$，函数 $f(x)=2 m\ln x-x+\dfrac 1 x$．

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间；

2、若函数 $g(x)=m^2\ln^2 x-x-\dfrac 1 x+2$ 有三个不同的零点，求 $m$ 的取值范围．

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2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #14

质点每次都在四边形 $ABCD$ 的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在 $A$ 点，则经过 $2$ 次移动到达 $C$ 点的概率为_____，经过 $n$ 次移动到达 $C$ 点的概率为_____．

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