每日一题[3708]零点分布

2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #20

已知函数 f(x)=ln(ax+1)x,其中 a>0

1、当 a=1 时,求曲线 y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处切线的方程;

2、当 a=2 时,证明:对任意的 t(0,+),曲线 y=f(x) 总在直线 y=x+t 的下方;

3、若函数 f(x) 有两个零点 x1,x2,且 0<x2x1<1,求 a 的取值范围.

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每日一题[3707]中点驱动

2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #19

已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0)的左右顶点分别为 A1,A2,离心率为 22,点 T(0,1)TA1A2 的面积为 2. 

1、 求椭圆 E 的方程;

2、过点 T 且斜率为 k 的直线交椭圆 E 于点 C,D,线段 CD 的垂直平分线交 y 轴于点 Q,点 Q 关于直线 CD 的对称点为 P.若四边形 PCQD 为正方形,求 k 的值.

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每日一题[3706]迭代函数

2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #15

已知无穷数列 {an} 满足 an+1=521ann=1,2,3,).下列四个结论中所有正确结论的序号是_____.

① 存在 a1,使得集合 {nan<0,nN} 中有无穷多个元素;

② 存在 a1,使得集合 {nan<2,nN} 中有有限个元素;

③ 对于任意的 a1,集合 {nan<0,nN} 中至多有一个元素;

④ 当 a1=1 时,集合 {nan<an+1<2,nN}=N

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每日一题[3705]水面沉浮

2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #10

如图,在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点,P 为正方体表面上的动点,且 D1PCE.设动点 P 的轨迹为曲线 W,则(       )

A.W 是平行四边形,且周长为 22+25

B.W 是平行四边形,且周长为 32+25

C.W 是等腰梯形,且周长为 22+25

D.W 是等腰梯形,且周长为 32+25

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每日一题[3704]图表整理

2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #19

已知集合 S={a1,a2,a3,,an}n),集合 T\subseteq\{(x,y)\mid x\in S,y\in S,x\neq y\},且满足对任意 a_i,a_j\in S1\leqslant i,j\leqslant ni,j\in\mathbb N^{\ast}i\ne j),(a_i,a_j)(a_j,a_i) 中恰有一个在 T 中.对于 T 定义: d_T(a,b)=\begin{cases}1,&(a,b)\in T\\0,&(b,a)\in T,\end{cases}\quad l_T\left(a_l\right)=\displaystyle\sum_{m=1}^{l-1}d_T\left(a_l,a_m\right)+\sum_{m=l+1}^n d_T\left(a_l,a_m\right) .

1、若 n=4\left(a_1,a_2\right),\left(a_3,a_2\right),\left(a_2,a_4\right)\in T,求 l_T\left(a_2\right) 的值及 l_T\left(a_4\right) 的最大值;

2、从 l_T\left(a_1\right),l_T\left(a_2\right),\cdots,l_T\left(a_n\right) 中任意删去两个数,记剩下的 (n-2) 个数的和为 M,证明:M\geqslant\dfrac 1 2 n(n-5)+3

3、求证:对于满足 l_T\left(a_l\right)<n-1l=1,2,3,\cdots,n)的每一个集合 T,集合 S 中都存在三个不同的元素 e,f,g,使得 d_T(e,f)+d_T(f,g)+d_T(g,e)=3

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每日一题[3703]对称函数与零点

2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #18

已知 m>1,函数 f(x)=2 m\ln x-x+\dfrac 1 x

1、求函数 f(x) 的单调区间;

2、若函数 g(x)=m^2\ln^2 x-x-\dfrac 1 x+2 有三个不同的零点,求 m 的取值范围.

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每日一题[3702]状态转移

2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #14

质点每次都在四边形 ABCD 的顶点间移动,每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍,若质点的初始位置在 A 点,则经过 2 次移动到达 C 点的概率为_____,经过 n 次移动到达 C 点的概率为_____.

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每日一题[3701]数列不等式

2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #11

过点 P(-1,0) 向曲线 C_n: x^2-2 n x+y^2=0n\in \mathbb N^{\ast})引斜率为 k_nk_n>0)的切线 l_n,切点为 P_n\left(x_n,y_n\right),则下列结论正确的是(       )

A.\displaystyle\sum_{i=1}^{2025}\ln x_i=-\ln 2026

B.数列 \left\{y_n\right\} 的通项为 y_n=\dfrac{2 n\sqrt{n+1}}{n+1}

C.当 n>3,x_1\cdot x_3\cdot x_5\cdots x_{2 n-1}<\dfrac{x_n}{y_n}

D.\dfrac{x_n}{y_n}<\sqrt 2\sin\sqrt{\dfrac{1-x_n}{1+x_n}}

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每日一题[3700]举棋不定

2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #10

如图,以 A_1,B_1,C_1,A,B,C 为顶点的六面体中,四边形 AA_1 C_1 C 为菱形,B_1 C_1 \parallel BCB_1 C_1=\dfrac 1 2 BC\angle C_1 CA=60^{\circ}AC=2AB=2\angle BAC=120^{\circ},则[[nn]]

A.AC\perp A_1 B

B.AC_1 \parallel ~\text{平面}~A_1 BB_1

C.当 A_1 B=\sqrt 6 时,二面角 A_1-AB-C 的正弦值为 \dfrac{\sqrt 5}5

D.当 A_1 B=\sqrt 3 时,此六面体的体积为 \dfrac{5\sqrt 3}4

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每日一题[3699]递推估算

2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #8

设数列 \left\{a_n\right\} 的前 n 项和为 S_n,已知 a_1=2n a_n=S_n+S_{n-1}n\geqslant 2n\in\mathbb N^{\ast}),数列 \left\{2^n S_n\right\} 的前 n 项和为 T_n,则下列不等式正确的是(       )

A.T_{20}<2^{30}

B.T_{20}>2^{35}

C.T_{30}<2^{40}

D.T_{30}>2^{45}

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