2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #20
已知函数 f(x)=ln(ax+1)−x,其中 a>0.
1、当 a=1 时,求曲线 y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处切线的方程;
2、当 a=2 时,证明:对任意的 t∈(0,+∞),曲线 y=f(x) 总在直线 y=x+t 的下方;
3、若函数 f(x) 有两个零点 x1,x2,且 0<x2−x1<1,求 a 的取值范围.
2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #20
已知函数 f(x)=ln(ax+1)−x,其中 a>0.
1、当 a=1 时,求曲线 y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处切线的方程;
2、当 a=2 时,证明:对任意的 t∈(0,+∞),曲线 y=f(x) 总在直线 y=x+t 的下方;
3、若函数 f(x) 有两个零点 x1,x2,且 0<x2−x1<1,求 a 的取值范围.
2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #19
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为 A1,A2,离心率为 √22,点 T(0,1),△TA1A2 的面积为 2.
1、 求椭圆 E 的方程;
2、过点 T 且斜率为 k 的直线交椭圆 E 于点 C,D,线段 CD 的垂直平分线交 y 轴于点 Q,点 Q 关于直线 CD 的对称点为 P.若四边形 PCQD 为正方形,求 k 的值.
2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #15
已知无穷数列 {an} 满足 an+1=52−1an(n=1,2,3,⋯).下列四个结论中所有正确结论的序号是_____.
① 存在 a1,使得集合 {n∣an<0,n∈N∗} 中有无穷多个元素;
② 存在 a1,使得集合 {n∣an<2,n∈N∗} 中有有限个元素;
③ 对于任意的 a1,集合 {n∣an<0,n∈N∗} 中至多有一个元素;
④ 当 a1=1 时,集合 {n∣an<an+1<2,n∈N∗}=N∗.
2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #10
如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点,P 为正方体表面上的动点,且 →D1P⊥→CE.设动点 P 的轨迹为曲线 W,则( )
A.W 是平行四边形,且周长为 2√2+2√5
B.W 是平行四边形,且周长为 3√2+2√5
C.W 是等腰梯形,且周长为 2√2+2√5
D.W 是等腰梯形,且周长为 3√2+2√5
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #19
已知集合 S={a1,a2,a3,⋯,an}(n⩾),集合 T\subseteq\{(x,y)\mid x\in S,y\in S,x\neq y\},且满足对任意 a_i,a_j\in S(1\leqslant i,j\leqslant n,i,j\in\mathbb N^{\ast},i\ne j),(a_i,a_j) 和 (a_j,a_i) 中恰有一个在 T 中.对于 T 定义: d_T(a,b)=\begin{cases}1,&(a,b)\in T\\0,&(b,a)\in T,\end{cases}\quad l_T\left(a_l\right)=\displaystyle\sum_{m=1}^{l-1}d_T\left(a_l,a_m\right)+\sum_{m=l+1}^n d_T\left(a_l,a_m\right) .
1、若 n=4,\left(a_1,a_2\right),\left(a_3,a_2\right),\left(a_2,a_4\right)\in T,求 l_T\left(a_2\right) 的值及 l_T\left(a_4\right) 的最大值;
2、从 l_T\left(a_1\right),l_T\left(a_2\right),\cdots,l_T\left(a_n\right) 中任意删去两个数,记剩下的 (n-2) 个数的和为 M,证明:M\geqslant\dfrac 1 2 n(n-5)+3 ;
3、求证:对于满足 l_T\left(a_l\right)<n-1(l=1,2,3,\cdots,n)的每一个集合 T,集合 S 中都存在三个不同的元素 e,f,g,使得 d_T(e,f)+d_T(f,g)+d_T(g,e)=3.
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #18
已知 m>1,函数 f(x)=2 m\ln x-x+\dfrac 1 x.
1、求函数 f(x) 的单调区间;
2、若函数 g(x)=m^2\ln^2 x-x-\dfrac 1 x+2 有三个不同的零点,求 m 的取值范围.
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #14
质点每次都在四边形 ABCD 的顶点间移动,每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍,若质点的初始位置在 A 点,则经过 2 次移动到达 C 点的概率为_____,经过 n 次移动到达 C 点的概率为_____.
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #11
过点 P(-1,0) 向曲线 C_n: x^2-2 n x+y^2=0(n\in \mathbb N^{\ast})引斜率为 k_n(k_n>0)的切线 l_n,切点为 P_n\left(x_n,y_n\right),则下列结论正确的是( )
A.\displaystyle\sum_{i=1}^{2025}\ln x_i=-\ln 2026
B.数列 \left\{y_n\right\} 的通项为 y_n=\dfrac{2 n\sqrt{n+1}}{n+1}
C.当 n>3 时 ,x_1\cdot x_3\cdot x_5\cdots x_{2 n-1}<\dfrac{x_n}{y_n}
D.\dfrac{x_n}{y_n}<\sqrt 2\sin\sqrt{\dfrac{1-x_n}{1+x_n}}
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #10
如图,以 A_1,B_1,C_1,A,B,C 为顶点的六面体中,四边形 AA_1 C_1 C 为菱形,B_1 C_1 \parallel BC,B_1 C_1=\dfrac 1 2 BC,\angle C_1 CA=60^{\circ},AC=2,AB=2,\angle BAC=120^{\circ},则[[nn]]
A.AC\perp A_1 B
B.AC_1 \parallel ~\text{平面}~A_1 BB_1
C.当 A_1 B=\sqrt 6 时,二面角 A_1-AB-C 的正弦值为 \dfrac{\sqrt 5}5
D.当 A_1 B=\sqrt 3 时,此六面体的体积为 \dfrac{5\sqrt 3}4
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #8
设数列 \left\{a_n\right\} 的前 n 项和为 S_n,已知 a_1=2,n a_n=S_n+S_{n-1}(n\geqslant 2,n\in\mathbb N^{\ast}),数列 \left\{2^n S_n\right\} 的前 n 项和为 T_n,则下列不等式正确的是( )
A.T_{20}<2^{30}
B.T_{20}>2^{35}
C.T_{30}<2^{40}
D.T_{30}>2^{45}