本试卷共六题，其中第1，2，3，4题每题15分，第5，6题每题20分．
1、给定正整数$n$，设实数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$；$x_1,x_2,\cdots ,x_n$；$y_1,y_2,\cdots ,y_n$满足$$a\leqslant a_i\leqslant b,i=1,2,\cdots ,n,$$且$$\sum_{i=1}^nx_i^2=\sum_{i=1}^ny_i^2=1,$$证明：$$\left|\sum_{i=1}^na_ix_i^2-\sum_{i=1}^na_iy_i^2\right|\leqslant 2(b-a)\sqrt{1-\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2}.$$
1、已知函数$f(x)=4\sin^3x\cos x-2\sin x\cos x-\dfrac 12\cos 4x$．
（1）求$f(x)$的最小正周期及最大值；
（2）求$f(x)$的单调区间．
我们先来看一下2003年高考江苏卷的压轴题：
例题1 （2003年江苏）设$a > 0$，如图．已知直线：$y = ax$及曲线$C$：$y = {x^2}$，$C$上的点${Q_1}$的横坐标为${a_1}$（$0 < {a_1} < a$）．从$C$上的点${Q_n}$（$n \geqslant 1$）作直线平行于$x$轴，交直线$l$于点${P_{n + 1}}$，再从${P_{n + 1}}$作直线平行于$y$轴，交曲线$C$于点${Q_{n + 1}}$．${Q_n}$（$n = 1 , 2 , \cdots $）的横坐标构成数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$．
（1）试求${a_{n + 1}}$与${a_n}$的关系，并求$\left\{ {{a_n}} \right\}$的通项公式．
（2）当$a = 1$，${a_1} \leqslant \dfrac{1}{2}$时，证明：$\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{a_k}-{a_{k + 1}}} \right){a_{k + 2}}} < \dfrac{1}{{32}}$；
（3）当$a = 1$时，证明：$\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{a_i}-{a_{i + 1}}} \right){a_{i + 2}}} < \dfrac{1}{3}$．
编者按 本文原作者为刘杨，编辑为意琦行，有大量补充和细节更正．
2011年高考浙江卷理科数学第12题：
已知$x,y\in\mathcal R$，$4x^2+y^2+xy=1$，则$2x+y$的最大值为_______．
1、存在函数$f(x)$，使得下列等式对任意实数$x$均成立的是（ ）
A．$f(\sin 2x)=\sin x$
B．$f(\sin 2x)=x^2+x$
C．$f\left(x^2+1\right)=|x+1|$
D．$f\left(x^2-2x\right)=|x-1|$
这是一道模拟试卷中的压轴题：
设函数$f(x)=\ln x+\dfrac{a}{{\rm e}x}$．
（1）讨论函数$f(x)$的单调性；
（2）若$a=2$，证明：对任意的$x>0$，都有$f(x)>{\rm e} ^{-x}$．
2015年高考山东卷理科数学第21题（压轴题）：
设函数$f(x)=\ln (x+1)+a\left( x^2-x\right) $，其中$a\in\mathcal R$．
（1）讨论函数$f(x)$极值点的个数，并说明理由；
（2）若$\forall x>0,f(x)\geqslant 0$成立，求$a$的取值范围．
编者按 本文作者为赵晚龙（山西省介休一中），由意琦行编辑（稍作修改），原每日一题地址为《每日一题[277] 一体三化》．原文中的三种方法均是通过将核心条件转化为边关系，而本文另辟蹊径，直接将核心条件与欲求参数通过角联结起来．
2014年湖南省十三校联考二模试题（原题为选择题）：
已知$G$是$\triangle ABC$的重心，且$AG\perp BG$，$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{\lambda }{\tan C}$，则实数$\lambda=$_______．
解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学（包括一些空间想象能力挺强的同学）造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道\(5\)分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．
今天小编就带领大家为曾经在类似这样的三视图还原问题上折戟沉沙的同学报仇雪恨．我们的口号是“七字真言扫天下，不破胡虏誓不归．”就从这道高考题入手吧．
2014年高考全国 I 卷理科第12题（选择压轴题）：
如图，网格纸上小正方形的边长为\(1\)，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）
A．\(6\sqrt 2\)
B．\(6\)
C．\(4\sqrt 2\)
D．\(4\) 
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