Math173

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：

设$S_n$是各项均为非零实数的等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和，若对于给定的正整数$n$($n>1$)和正数$M$，数列$\{a_n\}$满足$a_1^2+a_{n+1}^2=M$，则$S_n$的最大值为_______．

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这是我在QQ群（我也记不得是哪个了）里看到的问题：

如图，在三棱锥$P-ABC$中，$AB=AC=PB=PC=10$，$PA=8$，$BC=12$，点$M$在平面$PBC$内，且$AM=7$，设异面直线$AM$与$BC$所成角为$\alpha$，则$\cos\alpha$的最大值为_______．

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已知\(S=\dfrac{\pi}{20000}\cdot\left(\sin\dfrac{\pi}{20000}+\sin\dfrac{2\pi}{20000}+\sin\dfrac{3\pi}{20000}+\cdots+\sin\dfrac{10000\pi}{20000}\right)\)，推测下列各值中与\(S\)最接近的是（        ）

A．\(0.9988\)

B．\(0.9999\)

C．\(1.0001\)

D．\(2.0002\)

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2013年高考辽宁卷文科数学第12题（选择压轴题）、理科数学第11题：

已知函数\(f(x)=x^2-2(a+2)x+a^2\)，\(g(x)=-x^2+2(a-2)x-a^2+8\)，设\(H_1(x)=\max\left\{f(x),g(x)\right\}\)，\(H_2(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}\)．记\(H_1(x)\)的最小值为\(A\)，\(H_2(x)\)的最大值为\(B\)，则\(A-B=\)（        ）

A．\(a^2-2a-16\)

B．\(a^2+2a-16\)

C．\(-16\)

D．\(16\)

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这是我在QQ群中国数学解题研究会里看到的问题：

如图，直角梯形$ABCD$中，$AB\parallel CD$，$\angle DAB=90^\circ$，$AD=AB=4$，$CD=1$，动点$P$在边$BC$上，且满足$\overrightarrow {AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}$($m,n$均为正实数)，则$\dfrac{1}{m}+\dfrac {1}{n}$的最小值为_______．

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已知$f(x)$是定义在$\mathcal{R}$上的偶函数，且当$x\geqslant 0$时，$f(x)=\dfrac {x-2}{x+1}$，若对任意实数$t\in\left[\dfrac 12,2\right ]$，都有$f(t+a)-f(t-1)>0$恒成立，则实数$a$的取值范围是____．

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这是我在QQ群高中数学试题研究中看到的题目：

已知$A(0,1)$，$B(1,0)$，$C(t,0)$，点$D$是直线$AC$上的动点，若$AD\leqslant 2 BD$恒成立，则最小正整数$t$的值为_______．

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无穷等差数列\(\{a_n\}\)的各项均为整数，首项为\(a_1\)，公差为\(d\)，\(S_n\)是其前\(n\)项和，\(3\)，\(21\)，\(15\)是其中的三项，给出下列命题中，真命题有\((\qquad)\)

①对任意满足条件的\(d\)，存在\(a_1\)，使得\(99\)一定是数列\(\{a_n\}\)中的一项；

②对任意满足条件的\(d\)，存在\(a_1\)，使得\(30\)一定是数列\(\{a_n\}\)中的一项；

③存在满足条件的数列\(\{a_n\}\)，使得对任意的\(n\in\mathcal N^*\)，\(S_{2n}=4S_n\)成立．

A．①③

B．①②

C．②③

D．①②③

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这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}2a_n\right)$($n\in\mathcal N^*$)，$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，求证：$S_n>n-\dfrac 52$．

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