每日一题[290] 明察秋毫

这是我在中学数学解题交流群中看到的问题：

已知$f(x)$为可导函数，$f'(x)$为$f(x)$的导函数，$f\left(\dfrac 12\right)=\ln 2-\dfrac 12$，且$$xf'(x)-f(x)=\dfrac{4x^2\ln x}{4x+\frac{1}{2\ln 2-1}-1},$$则$f(x)$（        ）

A．有极大值，无极小值

B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值

D．既无极大值也无极小值

正确答案是 D．

记$\dfrac{1}{2\ln2 -1}-1=m$，则$f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{1}{2(m+1)}$，而$$x'f(x)-f(x)=\dfrac{4x^2\ln x}{4x+m}.$$

问题本质是研究$f'(x)$的零点情况，于是设法获得关于$f'(x)$以及其导函数$f'^\prime(x)$的信息为第一要义．根据已知条件的结构，我们可以觉察出其中有破绽$\dfrac{f(x)}x$，寻此破绽设法消去$f(x)$就是解题的关键．

首先，两边同时除以$x^2$，有$$\begin{eqnarray} \left(\dfrac{f(x)}x\right)'=\dfrac{4\ln x}{4x+m}.\end{eqnarray} $$

进而，移项整理得$$f'(x)=\dfrac{f(x)}{x}+\dfrac{4x\ln x}{4x+m},$$两边求导，可得$$f'^\prime (x)=\left(\dfrac{f(x)}x\right)'+\dfrac{16x+4m(1+\ln x)}{(4x+m)^2},$$将(1)代入，有$$ f'^\prime (x)=\dfrac{4\ln x}{4x+m}+\dfrac{16x+4m(1+\ln x)}{(4x+m)^2},$$整理得$$\begin{eqnarray} f'^\prime (x)=4(4x+2m)\cdot\dfrac{\ln x+1-\frac{m}{4x+2m}}{(4x+m)^2},\end{eqnarray} $$设(2)中分子部分为$\varphi (x)$，注意到$\varphi\left(\dfrac 12\right)=0$且$\varphi(x)$单调递增．

至此问题已经解决．

①    由$\varphi (x)$的性质可得$f'^\prime (x)$在$\left(0,\dfrac 12\right)$上小于零，在$\left(\dfrac 12,+\infty\right)$上大于零；

②    $f'(x)$在$\left(0,\dfrac 12\right)$上单调递减，在$\left(\dfrac 12,+\infty\right)$上单调递增，又$f'\left(\dfrac 12\right)=0$，于是$f'(x)$在$(0,+\infty)$上非负；

③     进而可得函数$f(x)$无极值点，答案 D 正确．

注    本题为《每日一题[42] 火眼金睛识原型》改编而来．