已知正数数列$\{a_n\}$的前$n$项和与前$n$项积始终相等，求证：$1<a_{n+1}<a_n\leqslant 1+\dfrac 1n$($n\geqslant 3$)．
在导数中，我们经常遇到这样的问题，题目条件给出一个与$f(x)$与$f'(x)$都相关的函数不等式，要解决某些与该函数相关的不等式问题，如
定义在$\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right )$上的函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，且恒有$f(x)\cdot\tan x<f'(x)$成立，则（ ）
A．$\sqrt 3f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )>\sqrt 2f\left(\dfrac {\pi}{3}\right )$
B．$f(1)<2f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )\sin 1$
C．$\sqrt 2f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )>f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )$
D．$\sqrt 3f\left(\dfrac {\pi}{6}\right )<f\left(\dfrac {\pi}{3}\right )$
在$\triangle ABC$中，$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，$M$为$AB$边上一点，$P$为直线$CM$上一点，且$\overrightarrow{CP}=\dfrac{\overrightarrow{CA}}{b\cos A}+\dfrac{\overrightarrow{CB}}{a\cos B}$，又已知$\left|\overrightarrow{CM}\right|=\dfrac c2$，$a^2+b^2=2\sqrt 2ab$，求$C$．
我们知道，等差数列的前$n$项和具有$S_n=an^2+bn$的形式，其中$a=\dfrac d2$是公差的一半．于是对于一个等差数列来说，我们就可以根据这个形式，再结合首项直接写出和式．比如和式$$1+5+9+\cdots+(4n-3),$$这是一个公差为$4$的等差数列的前$n$项和，所以具有$2n^2+bn$的形式，当$n=1$时，$2n^2=2$，所以$b=-1$，即$$1+5+9+\cdots+(4n-3)=2n^2-n.$$具体求和中，我们需要注意和式是否为前$n$项和，有时需要补项或者去项．为了方便，本文中所有的$n$都是使得和式有意义的整数$n$，不再作特别说明．
例题一 求$A=7+10+13+\cdots+(3n-2)$和$B=19+17+15+\cdots+(11-2n)$的值．
设函数$f(x)=2ax^2+bx-3a+1$，当$x\in [-4,4]$时，不等式$f(x)\geqslant 0$恒成立，求$5a+b$的取值范围．
已知$a,b\in [0,1]$，求$S(a,b)=\dfrac a{1+b}+\dfrac b{1+a}+(1-a)(1-b)$的最小值． 继续阅读
若$[x]$表示不超过$x$的最大整数，数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\left[\sum\limits_{i=n}^{9n-1}\sqrt{i^2+1}\right]$，问$\{a_n\}$中有多少个完全平方数？证明你的结论．
在锐角$\triangle ABC$中，求证：$\dfrac{\cos^2A}{1+\cos A}+\dfrac{\cos^2B}{1+\cos B}+\dfrac{\cos^2C}{1+\cos C}\geqslant \dfrac 12$．
已知$x_1+x_2+\cdots +x_n=\pi$，$x_i\geqslant 0$($i=1,2,\cdots ,n$)，求$\sin^2x_1+\sin^2x_2+\cdots +\sin^2x_n$的最大值．
