与组合数相关的级数和问题

已知$n>m\geqslant 0$,$n,m\in\mathbb N$,求证:$\displaystyle \sum_{i=0}^n{\rm C}_n^i(-1)^i(i+1)^m=0$.


证明 考虑函数$$f(x)=\sum_{i=0}^n{\rm C}_n^i(-1)^i{\rm e}^{(i+1)x},$$其$m$阶导数为$$f^{(m)}(x)=\sum_{i=0}^n{\rm C}_n^i(-1)^i(i+1)^m{\rm e}^{(i+1)x},$$于是$$f^{(m)}(0)=\sum_{i=0}^n{\rm C}_n^i(-1)^i(i+1)^m.$$另一方面,根据二项式定理,函数$$f(x)={\rm e}^x\left(1-{\rm e}^x\right)^n.$$设函数$$F_k(x)={\rm e}^{(n-k+1)x}\left(1-{\rm e}^x\right)^k,k=1,2,\cdots ,n,$$则$$F_k'(x)={\rm e}^{(n-k+1)x}\cdot \left[(n-k+1)\left(1-{\rm e}^x\right)^k+k\cdot \left(1-{\rm e}^x\right)^{k-1}\cdot \left(-{\rm e}^x\right)\right]=(n-k+1)F_k(x)-kF_{k-1}(x),$$于是$F_n'(0),F_n''(0),\cdots ,F_n^{(n-1)}(0)$均为$0$.

综上所述,原命题得证.

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