每日一题[690]交卷顺序

阶梯教室安装的连体课桌一行坐$6$个人,考生只能从课桌两头走出考场,考生交卷时间先后不一,如果坐在里面的考生要先交卷就需要打扰别人,把一行考生中打扰别人交卷的人数视为随机变量$X$,求$X$的数学期望.


分析与解 设连体课桌一行坐$n$($n\geqslant 3$)个人,则随机变量$X$对应的取值为$1,2,\cdots ,n-2$.

当$n=3$时,将考生依次记为$ABC$,那么当第一个交卷的考生为$A,C$时,$X=0$,当第一个交卷的考生为$B$时,$X=1$,于是
%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-10-13-%e4%b8%8a%e5%8d%889-27-29当$n=4$时,将考生依次记为$ABCD$,那么当第一个交卷的考生为$A,D$时,情况转化为$n=3$的情形;当第一个交卷的考生为$B,C$时,情况转化为$n=3$的情形中每个$X$都增加$1$,比如有$$P_4(X=1)=\dfrac 24P_3(X=0)+\dfrac 24P_3(X=1)=\dfrac {8+4}{4!}.$$于是有%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-10-13-%e4%b8%8a%e5%8d%889-27-35进而$n=5$时,对应的分布列为%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-10-13-%e4%b8%8a%e5%8d%889-27-40而$n=6$时,对应的分布列为%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-10-13-%e4%b8%8a%e5%8d%889-27-46于是所求的数学期望为$$\dfrac{160+560+600+192}{6!}=\dfrac{21}{10}.$$

 事实上,有$$P_n(X=k)=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\cdots <i_k\leqslant n-2}\dfrac{\left(n-1-i_1\right)\left(n-1-i_2\right)\cdots \left(n-1-i_k\right)\cdot 2^{n-1-k}}{n!}.$$

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