已知$x>0$，考虑方程$a^x=x^a$，其中$a>0$且$a\ne 1$．
(1) 若方程只有一个实数解，求$a$的取值范围；
(2) 若方程有两个实数解$x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>2{\rm e}$．
每日一题[768]构造函数看方程
练习题集[89]基础练习
1．已知$E,F$是双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($b>a>0$)的左、右焦点，$F$也是抛物线$y^2=2px$($p>0$)的焦点，且两条曲线交于不同的两点$A,B$，若$5|AF|=4|BE|$，则双曲线的离心率为_______．
每日一题[766]抓住本质 改头换面
已知点$P$是圆$O:x^2+y^2=1$上一动点，$O$为坐标原点．过点$P$作圆$O$的切线$l$与圆$O_1:x^2+y^2-2x-8y=19$相交于$A,B$两点，则$\dfrac{AP}{BP}$的最大值为________．
每日一题[765]解三角形中的条件转化
已知$\triangle ABC$中，$\angle BAC,\angle ABC,\angle BCA$所对的边分别为$a,b,c$，$AD\perp BC$，且$AD$交$BC$于点$D$，$AD=a$，若$\dfrac {\sin^2\angle ABC+\sin^2\angle BCA+\sin^2\angle BAC}{\sin\angle ABC\cdot\sin\angle BCA}\leqslant m$恒成立，则实数$m$的取值范围为______．
每日一题[764]三角形外心的向量处理
设$O$是$\triangle ABC$的外心，$a,b,c$分别为$\triangle ABC$的内角$A,B,C$的对边，满足$b^2-2b+c^2=0$，则$\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {AO}$的取值范围是_______．
每日一题[763]复合函数的零点
已知函数$f(x)=ax+\ln x-\dfrac {x^2}{x-\ln x}$有三个不同的零点$x_1,x_2,x_3$（其中$x_1<x_2<x_3$），则$$\left(1-\dfrac{\ln{x_1}}{x_1}\right)^2\left(1-\dfrac{\ln{x_2}}{x_2}\right)\left(1-\dfrac{\ln{x_3}}{x_3}\right)$$的值为（ ）
A．$1-a$
B．$a-1$
C．$-1$
D．$1$
每日一题[762]按部就班
设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的导函数为$f'(x)$，对$\forall x\in\mathbb{R}$，不等式$f(x)\geqslant f'(x)$恒成立，则$\dfrac {b^2}{a^2+2c^2}$的最大值为________．
每日一题[761]“有”一例外
设函数$f(x)=\begin{cases} 2-|x+2|,x\leqslant 0,\\x^2,x>0,\end{cases} $，$g(x)=k\left(x-\dfrac 43\right)(k\in\mathbb{R})$，若存在唯一的整数$x$，使得$\dfrac{f(x)-g(x)}{x}<0$，则$k$的取值范围是________．