已知$f(x)=a\ln x+\dfrac{1-a}2x^2-x$，若存在$x\geqslant 1$，使得$f(x)<\dfrac a{a-1}$，则实数$a$的取值范围是______．
已知抛物线$y=x^2+bx+c$与坐标轴交于$A,B,C$三点．求证：$\triangle ABC$的外接圆恒过一定点$P$．
平面直角坐标系$xOy$中，点$A,B,C$的坐标分别为$(a,0),(0,a),(3,4)$，点$P(x,y)$是平面内的任意一点，记$M(a)=\max\{|PA|,|PB|,|PC|\}$，则$M(a)$的最小值是______．
1．平面直角坐标系$xOy$中有两定点$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，分别过点$P$和点$Q$作直线$l_1,l_2$，且$l_1\perp l_2$，若直线$l_1$交$x$轴于点$A$，直线$l_2$交$y$轴于点$B$，求线段$AB$中点$M$的轨迹．
设$0<p\leqslant a,b,c,d,e\leqslant q$，求证：$$(a+b+c+d+e)\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c+\dfrac 1d+\dfrac 1e\right)\leqslant 25+6\left(\sqrt{\dfrac pq}-\sqrt{\dfrac qp}\right)^2.$$
证明：$(x,y)=(1,2)$是方程组$\begin{cases} x(x+y)^2=9,\\ x(y^3-x^3)=7,\end{cases} $的唯一的实数解．
已知 $f\left(x\right)$ 是定义在 $\left[a,b\right]$ 上的函数，如果存在常数 $M>0$，对区间 $\left[a,b\right]$ 的任意划分：$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,$$和式 $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|\leqslant M$ 恒成立，则称 $f\left(x\right)$ 为 $\left[a,b\right]$ 上的“绝对差有界函数”．
(1) 证明：函数 $f\left(x\right)=\sin x+\cos x$ 在 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {2},0\right]$ 上是“绝对差有界函数”；
(2) 证明：函数 $f\left(x\right)= \begin{cases}x\cos\dfrac{\mathrm \pi} {2x},&0<x\leqslant 1,\\ 0,&x=0.\end{cases} $ 不是 $\left[0,1\right]$ 上的“绝对差有界函数”；
(3) 记集合$$A=\left\{f\left(x\right)\mid \exists k>0, \forall x_1,x_2\in\left[a,b\right], |f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)|\leqslant k|x_1-x_2| \right\},$$证明集合 $A$ 中的任意函数 $f\left(x\right)$ 为“绝对差有界函数”，并判断 $g\left(x\right)=2016\sin\left(2016x\right)$ 是否在集合 $A$ 中，如果在，请证明并求 $k$ 的最小值；如果不在，请说明理由．
已知$x>y>0$，$x,y\in\mathcal R$，且$xy=1$，则$\dfrac{x^2+y^2}{x-y}$的最小值是______，$\dfrac{x^3+y^3}{x-y}$的最小值是______．
已知函数$$f\left(x\right)=1+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{x^{2017}}{2017},$$函数$$g\left(x\right)=1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}-\cdots-\dfrac{x^{2017}}{2017}.$$设 $F\left(x\right)=f\left(x+3\right)\cdot g\left(x-3\right)$，且函数 $F\left(x\right)$ 的零点在区间 $\left[a,b\right]\left(a<b,a,b\in\mathcal Z\right)$ 内，则 $b-a$ 的最小值为_______．
