已知$A,B,C$是半径为$1$的圆$O$上的三点，$AB$为圆$O$的直径，$P$为圆$O$内(含圆周)一点，求$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}$的取值范围．
已知$a,b,c\in \mathbb R$，若$|a\cos^2x+b\sin x+c|\leqslant 1$对$x\in\mathbb R$恒成立，则$|a\sin x+b|$的最大值．
已知$\triangle ABC$中，$3\sin^2B+7\sin^2C=2\sin A\sin B\sin C+2\sin^2A$，求$\sin\left(A+\dfrac{\pi}4\right)$的值．
已知$A,B$是椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的两点，$O$为坐标原点，且$OA\perp OB$，求证：$O$到直线$AB$的距离为定值．
设函数$f(x)=(x-1){\rm e}^x-kx^2$，当$k\in \left(\dfrac 12,1\right]$时，求函数$f(x)$在$[0,k]$上的最大值．
已知$x_1\ln x_1=x_2\ln x_2=a$($x_1< x_2$)，${\rm e}$是自然对数的底．求证：$x_2-x_1<2a+1+{\rm e}^{-2}$．
已知向量$\overrightarrow {a},\overrightarrow b$满足$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=2m$，$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=2n$，求$|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|$的取值范围．
