每日一题[818]平面向量中的换元

已知向量$\overrightarrow {a},\overrightarrow b$满足$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=2m$,$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=2n$,求$|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|$的取值范围.


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正确答案是$\left[\left|m^2-n^2\right|,m^2+n^2\right]$.

分析与解 设$\overrightarrow a+\overrightarrow b=2\overrightarrow x$,$\overrightarrow a-\overrightarrow b=2\overrightarrow y$,则$|\overrightarrow x|=m$且$|\overrightarrow y|=n$.根据题意,有\[\begin{split}|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|&=\left|\overrightarrow x+\overrightarrow y\right|\cdot \left|\overrightarrow x-\overrightarrow y\right|\\&=\sqrt{m^2+n^2+2\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y}\cdot \sqrt{m^2+n^2-2\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y}\\&=\sqrt{(m^2+n^2)^2-4(\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y)^2},\end{split}\]
而$\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y$的取值范围是$[-mn,mn]$,于是$|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|$的取值范围是$\left[\left|m^2-n^2\right|,m^2+n^2\right]$.

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