每日一题[841]数形结合

设函数$f(x)=-x^2+bx+|x-a|$,$a,b\in\mathbb R$,若对任意的实数$a$,关于$x$的方程$f(x)=a+1$至多有两个不同的解,求实数$b$的取值范围.


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正确答案是$\left(-\infty,1-2\sqrt 2\right]\cup (-1,3)\cup \left[1+2\sqrt 2,+\infty\right)$.

分析与解 函数$f(x)$即\[f(x)=\begin{cases}-x^2+(b-1)x+a,&x<a,\\ -x^2+(b+1)x-a,&x\geqslant a.\end{cases}\]
考虑问题的反面,存在实数$a$,使得方程$f(x)=a+1$有至少$3$个解,求实数$b$的取值范围.

情形一 当$a\notin \left(\dfrac{b-1}2,\dfrac{b+1}2\right)$时,函数$f(x)$先单调递增后单调递减,至多有$2$个实数解;

情形二 当$a\in \left(\dfrac{b-1}2,\dfrac{b+1}2\right)$时,函数的图象为形如“m”,此时只要\[f(a)\leqslant a+1\leqslant \min\left\{f\left(\dfrac{b-1}2\right),f\left(\dfrac{b+1}2\right)\right\},\]即\[-a^2+ab\leqslant a+1\leqslant \min\left\{a+\dfrac 14(b-1)^2,-a+\dfrac 14(b+1)^2\right\},\]利用规划处理,不等式组为\[\begin{cases}\dfrac 12b-\dfrac 12<a<\dfrac 12b+\dfrac 12,\\ b\leqslant -1\ \lor\ b\geqslant 3,\\ a\leqslant \dfrac 18(b+1)^2-\dfrac 12,\end{cases}\]且当$a>0$时,$b\leqslant a+\dfrac 1a+1$,当$a<0$时,$b\geqslant a+\dfrac 1a+1$,所以点$(b,a)$在双曲线$x=y+\dfrac 1y+1$外部,如图.

因此$b$的取值范围是$\left(1-2\sqrt 2,-1\right]\cup \left[3,1+2\sqrt 2\right)$.

回到原题,所求的取值范围是$\left(-\infty,1-2\sqrt 2\right]\cup (-1,3)\cup \left[1+2\sqrt 2,+\infty\right)$.

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