已知二次函数$f(x)=ax^2-4x+c$($x\in\mathcal{R}$)的值域为$[0,+\infty)$，则$\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{9}{a+9}$的最大值是________．
点$M$是棱长为$2$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱切球上的一点，点$N$是$\triangle ACB_1$的外接圆上的一点，则线段$MN$的取值范围是_______．
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锐角三角形$ABC$中，若$\sin A=2\sin B\sin C$，则$$\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C$$的最小值为______．
在椭圆$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$中，直线$l$与椭圆交于$A,B$两点，直线$AB$不过点$P(2,0)$，且以$AB$为直径的圆恒过点$P(2,0)$，求证：直线$AB$恒过定点，并求该定点的坐标．
在直角$\triangle ABC$中，$B$为直角，$A=60^\circ$，$AB=4\sqrt 3$，点$D$在$BC$边上，且$BD=2$，点$G$在$AB$边上，点$E,F$在$AC$边上，线段$DE$与$GF$相交于点$O$．若$DE=GF$且$\angle EOF=60^\circ$，求四边形$DGEF$面积的取值范围．
1．已知$x_1,x_2,\cdots ,x_{n+1}$是$n+1$个正实数，证明：$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_1x_2}{x_3}+\cdots +\dfrac{x_1x_2\cdots x_n}{x_{n+1}}\geqslant 4\left(1-x_1x_2\cdots x_{n+1}\right).$$
注意：所有题目均为单项选择题，共$20$小题．
1．已知函数$f(x)$是连续的偶函数，且当$x>0$时$f(x)$是严格单调函数，则满足$f(x)=f \left(\dfrac{x+3}{x+4}\right)$的所有$x$之和是（ ）
（2012年上海卷）对于数集$X=\{-1,x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$，其中$0<x_1<x_2<\cdots <x_n$，$n\geqslant 2$．定义向量集$Y=\{\overrightarrow a\mid \overrightarrow a=(s,t),s,t\in X\}$，若对任意$\overrightarrow a_1\in Y$，存在$\overrightarrow a_2\in Y$，使得$\overrightarrow a_1\cdot \overrightarrow a_2=0$，则称$X$具有性质$P$．例如$\{-1,1,2\}$具有性质$P$．
(1) 若$x>2$，且$\{-1,1,2,x\}$具有性质$P$，求$x$的值；
(2) 若$X$具有性质$P$，求证：$1\in X$，且当$x_n>1$时，$x_1=1$；
(3) 若$X$具有性质$P$，且$x_1=1$，$x_2=q$($q$为常数)，求有穷数列$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的通项公式．
若平面向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a=1$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b=4$，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=1$，$\overrightarrow e$是平面内的单位向量，则$\Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\Big|$的取值范围是_________．
