已知存在满足$\alpha,\beta,\alpha+\beta$均为锐角的$\alpha,\beta$使得方程$\sin\dfrac{\alpha}2=k\cos\beta$有解，则$k$的取值范围是______．
1．$f(x),g(x)$定义在$\mathbf R$上，下列说法正确的是( )
A．若$f(f(x))=f(x)$，则$f(x)=x$
B．若$f(f(x))=x$，则$f(x)=x$
C．若$f(g(x))=x$，则$g(f(x))=x$
D．若$f(g(x))=x$，则$g(x_1)=g(x_2)$等价于$x_1=x_2$
已知$a,b,c$分别为$\triangle ABC$的内角$A,B,C$所对的边，$BC$边上的高为$\dfrac 12a$，则$\dfrac cb$的最大值为_______．
已知数列$\{x_n\}$满足$x_{n+1}=x_n-\ln x_n$，且$x_1={\rm e}$，求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{x_k-x_{k+1}}{x_k\sqrt{x_k}}<1$．
已知扇形$OAB$中，$\angle AOB$为直角，圆$C$与$OA,OB$及圆$O$相切，圆$D$与$OA$，圆$O$，圆$C$相切．作$DE\perp OC$，垂足为$E$．求证：$\triangle ODE$的三边成等差数列．
(2013年全国I卷)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^\circ$，$AB=\sqrt 3$，$BC=1$，$P$为$\triangle ABC$内一点，$\angle BPC=90^\circ$．
(1) 若$PB=\dfrac 12$，求$PA$；
(2) 若$\angle APB=150^\circ$，求$\tan \angle PBA$．
已知$x>0$，考虑方程$a^x=x^a$，其中$a>0$且$a\ne 1$．
(1) 若方程只有一个实数解，求$a$的取值范围；
(2) 若方程有两个实数解$x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>2{\rm e}$．
