每日一题[773]层层转化

已知$a,b,c$分别为$\triangle ABC$的内角$A,B,C$所对的边,$BC$边上的高为$\dfrac 12a$,则$\dfrac cb$的最大值为_______.


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正确答案是$\sqrt 2+1$.

分析与解 根据题意,有\[S_{\triangle ABC}=\dfrac 14a^2=\dfrac 12bc\sin A,\]应用余弦定理,可得\[b^2+c^2-2bc\cos A=2bc\sin A,\]于是\[t^2+1-2t\cos A=2t\sin A,\]其中$t=\dfrac cb$.这样就得到了\[2t\sin A+2t\cos A=t^2+1,\]于是\[2\sqrt 2\sin \left(A+\dfrac{\pi}4\right)=t+\dfrac 1t,\]从而\[t+\dfrac 1t\leqslant 2\sqrt 2,\]解得$t$的最大值为$\sqrt 2+1$.

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