Math173

数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_2=\dfrac 12$，且$n(n+1)a_{n+1}a_n+na_na_{n-1}=(n+1)^2a_{n+1}a_{n-1}$对一切不小于$2$的正整数$n$均成立，则$\{a_n\}$的通项公式为_______．

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已知$A,B$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的长轴顶点，$P,Q$是椭圆上的两点，且满足$k_{AP}=\lambda k_{QB}$($\lambda>1$)．

(1) 求证：直线$AP$和$BQ$的交点在定直线上；
(2) 求证：直线$PQ$过定点；
(3) 求$\triangle PQB$和$\triangle PQA$面积之差的最大值．

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已知函数$f(x)=|x-m|$，$g(x)=x|x-m|+m^2-7m$．
(1)若关于$x$的方程$f(x)=|m|$在区间$[-4,+\infty)$上有两个不同的实数根，求实数$m$的取值范围；
(2)若对任意$x_1\in (-\infty,4]$，均存在$x_2\in[3,+\infty)$，使得$f(x_1)>g(x_2)$成立，求实数$m$的取值范围．

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在$\triangle ABC$内取一点$O$，设$\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2,\overrightarrow e_3$分别是$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$上的单位向量，求$m=\left|\overrightarrow e_1+\overrightarrow e_2+\overrightarrow e_3\right|$的取值范围．

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已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac 1n$($n\in\mathbb N^*$)．
(1) 求证：$\dfrac{a_{n+2}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}$；
(2) 求证：$2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\leqslant \dfrac{1}{2a_3}+\dfrac{1}{3a_4}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+2}}\leqslant n$．

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平面上有两条线段$AB=3$，$AC=5$，且$\angle BAC=\dfrac{\pi}6$，则线段$AB$和$AC$在该平面上任意一条直线$l$上的投影的长度之和的取值范围是_________．
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如图，$\triangle ABC$中，$BA=BC$，延长$BA$至点$D$使$BD=AC$，若$\angle BCD=50^\circ$，求证：$\angle B=100^\circ$．

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函数$f(x)=\dfrac{4x}{x+1}$($x>0$)，$g(x)=\dfrac 12\left(|x-a|-|x-b|\right)$($a<b$)，若对$\forall x_1>0$，$\exists x_2\leqslant x_1$，$g(x_2)=f(x_1)$，则$2a+b$的最大值为________．

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若$\triangle ABC$沿三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥，则称这样的$\triangle ABC$为和谐三角形．设$\triangle ABC$的三个内角分别为$A,B,C$，则下列条件中能够确定为和谐三角形的有________．
① $A:B:C=7:20:25$；
② $\sin A:\sin B:\sin C=7:20:25$；
③ $\cos A:\cos B:\cos C=7:20:25$；
④ $\tan A:\tan B:\tan C=7:20:25$．

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