已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，$A$为椭圆$E$的右顶点，$M,N$是椭圆$E$上不同于$A$的不同两点，且直线$AM$和$AN$的斜率之积为$\lambda $．
(1) 求证：直线$MN$过定点$R$；
(2) 若$\lambda =-\dfrac{b^2}{a^2}$，$P$为椭圆$E$上不同于$M,N$的一点，且$|PM|=|PN|$，求$\triangle MNP$的面积的最小值．
已知$S(n,k)=\displaystyle \sum_{i=1}^n{i^k}$，其中$k,n\in\mathbb N^*$．
(1)求$S(n,1)$，$S(n,2)$，$S(n,3)$；
(2)给出$S(n,k)$关于$k$的一个递推公式．
设数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$($n\in\mathbb N^*$)，$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和．证明：
(1) 当$a_1\in [0,1]$时，$a_n\in [0,1]$；
(2) 当$a_1>1$时，$a_n>(a_1-1)a_1^{n-1}$；
(3) 当$a_1=\dfrac 12$时，$n-\sqrt{\dfrac{2n}3}\leqslant S_n\leqslant n-1+\dfrac 1{2^n}$．
已知$x_1\ln x_1=x_2\ln x_2$，且$x_1<x_2$，若整数$k=\dfrac 52\left(x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}\right)$，求$k$的值．
已知边长为$1$的正三角形的中心为$O$，过$O$的直线与边$AB,AC$分别交于点$M,N$，求$\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}$的取值范围．
设函数$f(x)=-x^2+bx+|x-a|$，$a,b\in\mathbb R$，若对任意的实数$a$，关于$x$的方程$f(x)=a+1$至多有两个不同的解，求实数$b$的取值范围．
已知$A$是椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右顶点，过$A$作互相垂直的两条直线$AP$和$AQ$分别交椭圆于$P,Q$．
(1) 求证：直线$PQ$过定点$R$，并求出定点$R$的坐标；
(2) 求$\triangle APQ$面积的最大值．
已知$A$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右顶点，弦$PQ$(不过点$A$)的斜率为定值$k$，求证：$\triangle APQ$的外接圆恒过不同于点$A$的另一点$B$，并求出$B$点坐标．
