2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #18
椭圆 $C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，短轴长为 $2$，点 $P$ 为椭圆的右顶点．圆 $Q: x^2 +(y+1)^2=t^2$（$0<t<1$），过点 $P$ 作圆 $Q$ 的两条切线分别与椭圆交于 $A,B$ 两点（不同于点 $P$）．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、当 $t$ 变化时，直线 $PA,PB$ 的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
3、给定一个 $t$，椭圆上的点到直线 $AB$ 的距离的最大值为 $d$，当 $t$ 变化时，求 $d$ 的最大值，并求出此时 $t$ 的值．
2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #14
马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能目当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲口袋中装有 $1$ 个黑球和 $2$ 个白球，乙口袋中装有 $2$ 个黑球和 $1$ 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 $X_n$，恰有 $1$ 个黑球的概率为 $p_n$，则 $p_1$ 的值是_____；$X_n$ 的数学期望 $E\left(X_n\right)$ 是_____．
2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #11
直线 $y=k x$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}3=1$ 交于 $P,Q$ 两点，点 $P$ 位于第一象限，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$，点 $F$ 为双曲线的左焦点，则（ ）
A．若 $|PQ|=2\sqrt 7$，则 $PF\perp QF$
B．若 $PF\perp QF$，则 $\triangle PQF$ 的面积为 $4$
C．$\dfrac{|PF|}{|PN|}>2$
D．$|PF|-|PN|$ 的最小值为 $4$
2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #7
函数 $y=f(x)$ 的图象如左图所示，则如右图所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A．$y=f\left(1-\dfrac 1 2 x\right)$
B．$y=-f\left(1-\dfrac 1 2 x\right)$
C．$y=f(4-2 x)$
D．$y=-f(4-2 x)$
2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #21
已知集合\[\Omega_n=\left\{X\mid X=\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right),x_i\in\{0,1\},i=1,2,\cdots,n\right\},\]对于任意 $X\in\Omega_n$，
操作一：选择 $X$ 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$，得到 $Y\in\Omega_{n+k}$（$k\geqslant 1$）；
操作二：删去 $X$ 中连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$，得到 $Y\in\Omega_{n-k}$（$1\leqslant k\leqslant n-1$）；
进行 $1$ 次操作一或者操作二均称为 $1$ 次变换，在第 $n$ 次（$n\in\mathbb N^{\ast}$）变换的结果上再进行 $1$ 次变换称为第 $n+1$ 次变换．
1、若对 $X=(0,1,0)$ 进行两次变换，依次得到 $Y\in\Omega_4$，$Z\in\Omega_2$．直接写出 $Y$ 和 $Z$ 的所有可能情况．
2、对于 $X=\underbrace{(0,0,\cdots,0)\in\Omega_{100}}_{100~\text{个}~0}$ 和 $Y=\underbrace{(0,1,0,1,\cdots,0,1)\in\Omega_{100}}_{50~\text{组}~0,1}$ 至少要对 $X$ 进行多少次变换才能得到 $Y$？说明理由．
3、证明：对任意 $X,Y\in\Omega_{2 n}$，总能对 $X$ 进行不超过 $n+1$ 次变换得到 $Y$．
2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #20
已知函数 $f(x)=\mathrm e^x\left(x^2+x\right)$，记其在点 $(a,f(a))$ 处的切线方程为：$y=g_a(x)$．定义关于 $x$ 的函数 $F_a(x)=f(x)-g_a(x)$．
1、求 $g_1(x)$ 的解析式；
2、当 $a>0$ 时，判断函数 $F_a(x)$ 的单调性并说明理由；
3、若 $a$ 满足当 $x\neq a$ 时，总有 $\dfrac{f(x)-g_a(x)}{x-a}>0$ 成立，则称实数 $a$ 为函数 $f(x)$ 的一个 $Q$ 点，求 $f(x)$ 的所有 $Q$ 点．
2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #15
已知函数 $f(x)=|x+1|+|a x-2|$（$a>0$）定义域为 $\mathbb R$，最小值记为 $M(a)$，给出以下四个结论：
① $M(a)$ 的最小值为 $1$；
② $M(a)$ 的最大值为 $3$；
③ $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递减；
④ $a$ 只有唯一值使得 $y=f(x)$ 的图象有一条垂直于 $x$ 轴的对称轴．
其中所有正确结论的是[[nn]]．
2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #9
音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为葫芦曲线．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为\[|y|=\left(2-\dfrac 1 2\left[\dfrac{2 x}{\pi}\right]\right)|\sin\omega x|,x\geqslant 0,\]其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．若该条曲线还满足 $\omega\in(1,3)$，经过点 $M\left(\dfrac 3 4\pi,\dfrac 3 2\right)$，则该条葫芦曲线与直线 $x=\dfrac 7 6\pi$ 交点的纵坐标为（ ）
A．$\pm\dfrac 1 2$
B．$\pm\dfrac{\sqrt 2}2$
C．$\pm\dfrac{\sqrt 3}2$
D．$\pm 1$
2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #19
黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(s)$ 与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关．$\zeta(s)$ 是这样定义的：记 $\operatorname{Re}(s)$ 为复数 $s$ 的实部，$\displaystyle \psi_k(s)=\sum\limits_{n=1}^k\dfrac 1{n^s}$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）．当 $\operatorname{Re}(s)>1$ 时，有 $\zeta(s)=\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}\psi_k(s)$，故 $\psi_k(s)$ 对 $\zeta(s)$ 的研究具有重要意义．
1、已知对任意正整数 $n$，都存在唯一的整数 $a_n$ 和 $b_n$，使得 $n=a_n\cdot 2^{b_n}$，其中 $a_n$ 为奇数，$b_n$ 为自然数，求 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{10}\left(a_n+b_n\right) ;$
2、试判断是否存在正整数 $k$，使得 $\psi_k(1)=2024$，并证明你的结论；
3、求证：$\psi_k\left(\dfrac 3 2\right)<3$．
2024年10月天域全国名校协作体高三数学联考 #18
已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，点 $M\left(1,\dfrac 8 3\right)$ 在 $C$ 上，且 $MF\perp x$ 轴，过点 $M$ 且与椭圆 $ C$ 有且只有一个公共点的直线与 $x$ 轴交于点 $P$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、点 $R$ 是椭圆 $C$ 上异于 $M$ 的一点，且三角形 $MPR$ 的面积为 $24$，求直线 $MR$ 的方程；
3、过点 $P$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $D,E$ 两点 $(D$ 在 $E$ 的左侧），若 $N$ 为线段 $FP$ 的中点，直线 $NE$ 交直线 $MF$ 于点 $Q$，$T$ 为线段 $DF$ 的中点，求线段 $TQ$ 的最大值．
